并查集的分析及应用

昨天看了几篇有关并查集的论文，对理解并查集很有帮助，在这里写篇博客来记录下自己对并查集的简单理解，以及并查集的简单运用。

并查集的分析

并查集的概念主要是处理集合问题（或可抽象成集合概念的问题），首先数学上的集合概念做个初步的分析

首先，我们从数学的角度给出等价关系和等价类的定义:
定义1：如果集合S中的关系R是自反的，对称的，传递的，则称他为一个等价关系。
——自反：x＝x；
——对称：若x＝y，则y＝x；
——传递：若x＝y、y＝z，则x＝z。?要求：x、y、z必须要同一个子集中。
定义2:如果R是集合S的等价关系。对于任何x∈S，由[x]R＝{y|y∈S and xRy}给出的集合[x]RS
称为由x∈S生成的一个R的等价类。
定义3:若R是集合S上的一个等价关系,则由这个等价关系可产生这个集合的唯一划分。
即可以按R将S划分为若干不相交的子集S1，S2，S3，S4，…，他们的并即为S，则这
些子集Si变称为S的R等价类。
划分等价类的问题的提法是：要求对S作出符合某些等价性条件的等价类的划分,已知
集合S及一系列的形如“x等价于y”的具体条件，要求给出S的等价类的划分，符合所
列等价性的条件。（我们上面提到的联系，即可认为是一个等价关系，我们就是要将
集合S划分成n个联系的子集，然后再判断x，y是否在一个联系子集中。）

这三个基本定义对理解并查集的概念及相应的操作非常有帮助。

并查集的操作主要有三个：

1.划分等价类，这个在预处理的时候进行，很简单，就是有多少元素就划分多少等价类即pre[i]=i，很好理解，为下面的合并做好准备。

2.找根节点（溯源） 我通常用函数root(int x)来实现找x的最终祖先。

3.合并，就是将两个集合合为一个集合。

用算法实现三个方法：

1.预处理

void init(int n){int i;for(i=1;i<=n;++i){pre[i] = i;}}

2.溯源

int root(int x){if(x!=pre[x]){pre[x] = root(pre[x]);}return pre[x];}

溯源这里是有优化的，判断两个元素是否属于同一集合需要O(n)的时间，但这里可以使用路径压缩来进行优化，  路径压缩实际上是在找完根结点之后，在递归回来的时候顺便把路径上元素的父亲指针都指向根结点

3.合并

void merge(int a,int b){int x = root(a);int y = root(b);if(x!=y){pre[x]=y;}}

合并就是先找到a和b各自的源，然后把源连起来则两个集合就实现了合并。

一上这三个函数就是并查集的核心思想和方法，以后的解题关键就是能将问题抽象成集合并应用并查集来解决了。

并查集的应用

下面我们就以以上并查集的思想解决一个实际问题来简单运用一下。

以解决 HDU 1232为例。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232

题目在这里就不再赘述了，经过上面的分析，此题就变的很简单了。

N个顶点连通至少需要N-1条边，这个是学计算机的都晓得的基础知识（树）。此问题总需要的最少边为total = N-1，每连接两个不在同一集合中的顶点时，所需要的边数减一（--total），ok了，最后连完之后的total就是还需要的边数（也是现在的等价类数目），这个应该也很好理解。

程序实现：

#include <stdio.h>int total;int pre[1001];void init(int n){int i;for(i=1;i<=n;++i){pre[i] = i;}}int root(int x){if(x!=pre[x]){pre[x] = root(pre[x]);}return pre[x];}void merge(int a,int b){int x = root(a);int y = root(b);if(x!=y){pre[x]=y;--total;}}int main(){int N,M,i,st,end;while(scanf("%d",&N) && N){scanf("%d",&M);init(N);total = N-1;for(i=0;i<M;++i){scanf("%d %d",&st,&end);merge(st,end);}printf("%d\n",total);}return 0;}

这段代码就很好理解了。到此结束了。