约瑟夫问题

以前搞acm的时候，做的最少的就是数论这种题目了，可以说是完全不会，曾经接触过约瑟夫问题，如果作为一个模拟，给初学者做做挺好的，但是它居然有公式，而且公式和mod扯上了关系，乍一看以为又是和数论有关，其实，它最主要的是一个递归子问题，也是我比较喜欢的问题之一。

约瑟夫问题，有n个人，编号从0到n-1围成一个圈，从1开始，数m个，然后把第m个从这个圈中剔除，然后继续从1开始数m个，再剔除这个人，直到这个圈只有1个人，这个人就是胜利者。那么就是输入m和n，让你输出胜利者的编号。

初学者可以试试模拟，也能做，但是对于n和m比较大的情况，效率略低。

关于子问题：

假如现在编号为0到n-1，那我们找出来的第一个人编号是（m-1）%n,找出来之后，此时可以看做一个规模n-1的约瑟夫环，只是编号变了，编号变化如下：

（m-1）%n+1       0

（m-1）%n+2       1

（m-1）%n+3       2

...............              ...

（m-1）%n-1      n-2

假如我知道右边一栏的问题（就是规模是n-1的问题）的答案是编号X，那么我只要把X对应到左边的编号，就是规模为n的问题的答案。那么我们需要一个将右边的数变成左边的数的方法，有：

左=(右+m)%当前的规模n

可以用如下方法推导：

f[i]表示在i个人情况下能过存活的人的编号，那么易得f[1]=0,

然后根据刚才的递归公式得到：

for(i=2;i<=n;i++)

f[i]=(f[i-1]+m)%i;

f[n]即为最后的结果

至此约瑟夫问题可以解决了。