DIRECT3D中透视投影矩阵的计算(已删除)

这不是一个容易解决的问题. 如果没有图形学基础和数学基础,理解整个计算过程需要耗费很长的时间和精力.

这里的计算发生在左手坐标系中,使用的API是Direct3D.

在开始这一切之前,我们需要先弄清一个问题------我们要做什么?

如图,我们要将这个锥形的视景体转换为DIRECT3D中的单位视景体:

首先,我们不考虑Z轴, 只进行X轴和Y轴方向上的转换.

 假设:

经过转换后的点为:

我们很容易就能计算出q_x和q_y:

先看分子,分子计算的是离X方向或者Y方向上中点的距离,分母计算宽度的一半或者高度的一半.因为在X轴和Y轴上的值的区间是(-1,1).

 

 化简后,q_x和q_y分别为:

至此,我们已经将原来的X轴和Y轴上的点,归一到(-1,1)区间了.

 让我们重新审视一下现在的Q点:

这里要注意,q_z=p_z, 因为X轴和Y轴的变换并不影响Z轴.

 转换后,视景体变为:

注意,这时的视景体,是一个XY平面是正方形的长方体.

 到这里,我们面临一个挑战------构造转换矩阵.

 让我们转换一下Q点的坐标,运用一下齐次坐标系的魔法.

 

根据这个坐标,我们很容易就能推出现在的变换矩阵,注意,这个矩阵不是最终的矩阵.

 

　　好,我们遇到了一个问题,P_z怎么办.在我们的矩阵中,竟然有一个和点相关的P_z.我们的推导出错了吗?我计算过不下10次,这个推导绝对没错.因为这个P_z,我们的推导已经进行不下去了.

 　　解决方案需要一些技巧, 而且比较难理解, 特别是像我这样不懂数学的人.如果我们扔了这个P_z怎么样?或者,让我们更理性一点,把这个值换为另外一个值.等等.我们竟然要将一个推导出来的矩阵,中的值,换成一个随意的值!!!这没问题吗?当然没问题!我恰好知道一个值,能够满足这个替换.

 　　听上去有些疯狂,不过.让我们仔细思考一下,我们已经将X,Y方向上的所有点都归一化了,那么,我们为什么需要一个Z方向上的值?我们从原点向Z轴的正方向望去,正确的画面已经呈现在我们的面前了!坐标在Z轴方向上的值,是为了进行深度检测,从而显示正确的遮挡.如果我们优雅的替换P_z,我们就能不破坏Z方向上值的大小顺序(也许值会变化,但是谁在前,谁在后并不改变.)

　　理论基础已经有了,但是我们应该用哪个值来替换?

如果z值变成:

那么,Q点坐标就可以写成:

此时,我们运用齐次坐标转换:

这样,我们就能得出现在的矩阵:

现在,只要我们能够计算出a和b的值,就能得到最终的结果了.不过,在这里我要解释一下为什么可以使用这样的替换.

让我们先看一下替换公式的图像(仅画出部分):

从中,我们可以看出,a一定是一个正数,a一定大于1,b必须是一个负数.

而且,随着X的增大,Y值也会增大,所以不会造成大小顺序的改变.

小于n和大于f的部分,不在(0,1)区间内,因此会被正确的裁剪.

至此,我们终于可以进行最后的计算了.

得出:

最终,我们的透视投影矩阵为:

透视投影矩阵的详细推导过程在国内外的网站上都很难找到,我数学学的不好,如果有什么错误,还望大家帮我指正.

我的邮箱[e-mail]

透视投影详解

概述

投影变换完成的是如何将三维模型显示到二维视口上，这是一个三维到二维的过程。你可以将投影变换看作是调整照相机的焦距，它模拟了为照相机选择镜头的过程。投影变换是所有变换中最复杂的一个。

视锥体

视锥体是一个三维体，他的位置和摄像机相关，视锥体的形状决定了模型如何从camera space投影到屏幕上。最常见的投影类型-透视投影，使得离摄像机近的物体投影后较大，而离摄像机较远的物体投影后较小。透视投影使用棱锥作为视锥体，摄像机位于棱锥的椎顶。该棱锥被前后两个平面截断，形成一个棱台，叫做View Frustum，只有位于Frustum内部的模型才是可见的。

透视投影的目的

透视投影的目的就是将上面的棱台转换为一个立方体（cuboid），转换后，棱台的前剪裁平面的右上角点变为立方体的前平面的中心（下图中弧线所示）。由图可知，这个变换的过程是将棱台较小的部分放大，较大的部分缩小，以形成最终的立方体。这就是投影变换会产生近大远小的效果的原因。变换后的x坐标范围是[-1, 1]，y坐标范围是[-1, 1]，z坐标范围是[0, 1]（OpenGL略有不同，z值范围是[-1, 1]）。

透视投影矩阵推导

下面来推导一下透视投影矩阵，这样我们就可以自己设置投影矩阵了，就可以模拟神奇的D3DXMatrixPerspectiveLH函数的功能了。那么透视投影到底做了什么工作呢？这一部分算是个难点，无论是DX SDK的帮助文档，还是大多数图形学书籍，对此都是一带而过，很少有详细讨论的，早期的DX SDK文档还讨论的稍微多一些，而新近的文档则完全取消了投影矩阵的推导过程。

我们可以将整个投影过程分为两个部分，第一部分是从Frustum内一点投影到近剪裁平面的过程，第二部分是由近剪裁平面缩放的过程。假设Frustum内一点P（x,y,z）在近剪裁平面上的投影是P'（x',y',z'），而P'经过缩放后的最终坐标设为P''(x",y",z")。假设所求的投影矩阵为M，那么根据矩阵乘法可知，如下等式成立。

PM=P''，即

先看第一部分，为了简化问题，我们考虑YOZ平面上的投影情况，见下图。设P（x, y, z）是Frustum内一点，它在近剪裁平面上的投影是P'（x', y', z'）。（注意：D3D以近剪裁平面作为投影平面），设视锥体在Y方向的夹角为Θ。

 

 由上图可知，三角形OP'Q'与三角形OPQ相似，于是有如下等式成立。

在看第二部分，将P'缩放的过程，假设投影平面的高度为H，由于转换后cuboid的高度为2。所以有

又因为投影平面的纵横比为Aspect，所以

最后看z''，当Frustum内的点投影到近剪裁平面的时候，实际上这个z'值已经没有意义了，因为所有位于近剪裁平面上的点，其z'值都是n，看起来我们甚至可以抛弃这个z'值，可以么？当然不行！别忘了后面还有深度测试呢。由第一幅图可知，所有位于线段p'p上的点，最终都会投影到p'点，那么如果这条线段上真的有多个点，如何确定最终保留哪一个呢？当然是离观察这最近的这个了，也就是深度值（z值）最小的。所以z'坐标可以直接保存p点的z值。因为在光栅化之前，我们需要对z坐标的倒数进行插值（原因请参见Mathematics for 3D Game Programming and Computer Grahpics 3rd section 5.4），所以可以将z''写成z的一次表达式形式，如下

在映射前，z的范围是[n,f]，这里n和f分别是近远两个剪裁平面到原点的距离，在映射后，z''的范围是[0,1]，将数据代入上面的一次式，可得下面的方程组

解这个方程组得到

所以

整理一下得

将X'',y'',z''代入最开始的矩阵乘法等式中得

由上式可见，x'',y'',z''都除以了Pz,于是我们将他们再乘以Pz（这并不该变齐次坐标的大小），得到如下等式。

注意这里，x即Px，y即Py，z即Pz，解矩阵的每一列得到

于是所求矩阵为

代码

一般来说，在程序中我们通常给定四个参数来求透视投影矩阵，分别是y方向的视角，纵横比，近剪裁平面到原点的距离及远剪裁平面到原点的距离，通过这四个参数即可求出上面的矩阵，代码如下。

D3DXMATRIX BuildProjectionMatrix(float fov, float aspect, float zn, float zf){    D3DXMATRIX proj;    ZeroMemory(&proj, sizeof(proj));    proj.m[0][0] = 1 / (tan(fov * 0.5f) *aspect) ;    proj.m[1][1] = 1 / tan(fov * 0.5f) ;    proj.m[2][2] = zf / (zf - zn) ;    proj.m[2][3] = 1.0f;     proj.m[3][2] = (zn * zf) / (zn - zf);    return proj ;}

矩阵求解完毕，现在可以用如下代码试试效果，这和使用D3D函数D3DXMatrixPerspectiveFovLH所得效果是一致的。

D3DXMATRIX proj = BuildProjectionMatrix(D3DX_PI / 4, 1.0f, 1.0f, 1000);g_pd3dDevice->SetTransform(D3DTS_PROJECTION, &proj) ;

Happy Coding!!!