FOJ 1036 四塔问题

       来源：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1036

       概述：经典的汉诺塔使用到3个柱子ABC，不妨称为“三塔问题”，记把n个盘子从A移到C需要H(n)次操作。那么，四塔问题中4个柱子ABCD，记把n个盘子从A移到D需要F(n)次操作。请求解F(n)，答案对1e4取余。

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       求解时，“『落』常笑鹰”和“原来我们都只是菜鸟”给予了很大的帮助，同时参阅了该篇文章：http://blog.csdn.net/wsqgwp/article/details/9164399。

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理论分析

       先理清三塔问题的思路。要完成H(n)，就要先把n-1个盘子从A移到B（操作次数相当于把n-1个盘子从A移到C，即H(n-1)），接着把A中剩下那个，也是最大的盘子移到C，再把B中n-1个盘子移到C。从移动方法，可以看出递推公式H(n)=2H(n-1)+1。再根据H(1)=1，不难得出通项式，下面为推导过程：

       再来看四塔问题。对于F(n)，我们可以先把A中的j(0 ≤ j < n)个盘子移到B，需要F(j)次操作，然后在柱子ACD中，完成剩下的n-j个盘子操作——把A中n-j个盘子，利用C，移动到D，这等价于三塔问题，所以操作次数为H(n-j)，再把B中的j个盘子移到D，操作F(j)次。所以有n种递推公式

在这n种递推方案中，我们要找出操作次数最小的最优解，故

       从四塔问题，我们可以进一步得到n个盘子，m(m>3)个柱子的一般递推式（双递归）

       此式的求解，用到两个性质

       我的能力，目前也只能推导到这里了。但这些理论对于本题的求解并没有多大的帮助，一方面用这些递推式来求n最大为5万的4塔问题，显然整型数据会溢出；另一方面，对中间值取余，也会造成无法判断哪种组合才是真正的最小值。故下面也只能用“投机取巧”的方法，做出答案，并背住结论了。

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实际求解

       我们用理论分析出的F(n)公式，求出前几项值，来发现是否有数值递增的规律。如果有，那么通过每次递增值的方法做取余运算比用通项式还方便（因为通项式求解很可能还要写快速幂模板）。F(n)的求解可以列表手算，更方便的，也可以使用Excel。算出后，再算F(n)与F(n+1)的差，发现确实有规律性：

       发现F(n)的递增规律为：一个2^0，两个2^1，三个2^2，四个2^3，接下来又是2^4，故猜想后续的规律——5个2^4，...，k+1个2^k，直到加到第n项。这个猜想从实践结果来看是正确的，但不会证明。

       利用这规律，很容易实现编程求解。我的代码中用K代表当前加到第2^(K-1)部分，k代表加到2^(K-1)中第k项。把2^(K-1)值记为t，只要每次对t自乘2，并对1万取余即可。

#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 50001;void init(int F[]){int k = 0, K = 1, t = 1;F[0] = 0;for (int i = 1; i < MAXN; i++){F[i] = (F[i-1] + t) % 10000;k++;if (k == K){K++;k = 0;t = t*2%10000;}}}int main(){int n, F[MAXN];init(F);while (cin >> n) cout << F[n] << endl;return 0;}