第六章：求解500万以内的亲和数

亲和数问题
题目描述：
求500万以内的所有亲和数
如果两个数a和b，a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。

例如220和284，1184和1210，2620和2924。

注：

亲和数问题最早是由毕达哥拉斯学派发现和研究的。他们在研究数字的规律的时候发现有以下性质特点的两个数：
220的真因子是：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110；
284的真因子是：1、2、4、71、142。
而这两个数恰恰等于对方的真因子各自加起来的和（sum[i]表示数i 的各个真因子的和），即
220=1+2+4+71+142=sum[284],
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=sum[220]。
得284的真因子之和sum[284]=220，且220的真因子之和sum[220]=284，即有sum[220]=sum[sum[284]]=284。

伴随数组线性遍历

//求解亲和数问题    //第一个for和第二个for循环是logn（调和级数）*N次遍历,第三个for循环扫描O（N）。  //所以总的时间复杂度为 O（n*logn）+O（n）=O（N*logN）（其中logN为调和级数）。    //关于第一个for和第二个for寻找中，调和级数的说明：  //比如给2的倍数加2，那么应该是  n/2次，3的倍数加3 应该是 n/3次，...  //那么其实就是n*（1+1/2+1/3+1/4+...1/(n/2)）=n*（调和级数）=n*logn。    //copyright@ 上善若水  //July、updated，2011.05.24。  #include<stdio.h>    int sum[5000010];   //为防越界    int main()   {      int i, j;      for (i = 0; i <= 5000000; i++)           sum[i] = 1;  //1是所有数的真因数所以全部置1            for (i = 2; i + i <= 5000000; i++)  //预处理，预处理是logN（调和级数）*N。          //@litaoye：调和级数1/2 + 1/3 + 1/4......的和近似为ln(n)，          //因此O(n *(1/2 + 1/3 + 1/4......)) = O(n * ln(n)) = O(N*log(N))。      {            //5000000以下最大的真因数是不超过它的一半的          j = i + i;  //因为真因数，所以不能算本身，所以从它的2倍开始          while (j <= 5000000)           {                //将所有i的倍数的位置上加i              sum[j] += i;                j += i;               }      }            for (i = 220; i <= 5000000; i++)   //扫描，O（N）。      {          // 一次遍历，因为知道最小是220和284因此从220开始          if (sum[i] > i && sum[i] <= 5000000 && sum[sum[i]] == i)          {              //去重，不越界，满足亲和              printf("%d %d\n",i,sum[i]);          }      }      return 0;  }