图说微积分（三）函数

今天我们进入下面这张图：

右下角的吃豆人超级抢眼！我都忘了这是本数学书，还以为是游戏攻略呢！下面我们步步拆解：

上一幅图讲到了反函数，下面是反函数的几个例子：

x^3的反函数是x^(1/3)，因为这个函数在定义域R上是单调的，所以它的反函数并没有值域的限制。

x^2的反函数是x^(1/2)，且值域为正，为什么要限定值域呢？因为抛物线形状的图形导致了二次函数的反函数对应的值并不唯一，所以需要限定反函数值域（原函数定义域）使函数成为堂堂正正的函数。

a^x和ln(a^x)互为反函数，因为指数函数在定义域上是单调的，所以不需要限定定义域。

下面咱们来看看多项式和指数函数：

monomial是指单项式，就是传说中的power function，幂函数，polynomial是指多项式，它的形式上图已经给出了，多项式就是n个单项式的和，n是多项式的维度。

有理函数是多项式除法的商。

x的零次方等于0，对于任何的x都成立。

x的-1次方等于1/x对于x不等于0成立。

推演至x的-n次方那么等于1/x^n

x的1/n次方等于x开n次方

但是当我们遇到2的π次方怎么办呢？要先做314次方，再开100次方，OMG！看到右边小人儿痛苦的表情了吗？O(∩_∩)O哈哈哈~

指数函数恐怕是数学中最重要的函数之一了它的形式如上y=exp(x)，e是一个无限位小数的常数。它就像一个贪婪的吃豆人，一直吃啊吃，无限的吃下去~，它也有一些性质：

指数函数相乘，等于指数相加。

指数函数的指数，等于指数相乘。

下面是它最酷的性质了：它的微分等于自己，它的积分等于自己。

它的反函数就是ln(x)了，look look，它和反函数是关于y=x相对称的。

那么指数函数的图形长什么样呢？

对于x大于0：

对于x小于0：

指数函数在定义域上是单调的，下面我们来看看它的展开式：

指数函数的泰勒级数展开如下：OMG这课一开始就上泰勒级数，这是要疯的节奏。展开式的每项分为三部分：第一部分是1/n！，！表示的是阶乘，第二部分是函数的n阶导数在展开点的函数值，第三部分是x的n次方，以下将所有这些项加起来就是指数函数的泰勒在x=0点展开了。

看似复杂的展开式要表达的是什么呢？下面的这个图很好的诠释了它，每一项对于全局的作用依次递减，当x等于1的时候e就是这一无穷大堆分数的极限。

最后教授教育我们不要有畏难的情绪，只要坚持，就会有希望！

references：

Math 104 https://class.coursera.org/calcsing-004/

PennCalc  http://calculus.seas.upenn.edu/

FLCT https://play.google.com/store/books/details/Robert_W_Ghrist_FLCT_Funny_Little_Calculus_Text?id=HbbeRHUozJcC&hl=zh_CN