图说微积分（六）泰勒级数

教授一上来就说：任何有理的函数他们都能写成下面的多项式累加的形式，这样的形式表示的是函数在x=0这点的泰勒级数展开，表示的是在x=0周围，函数与这些多项式的组合的函数值很接近。也可以称作麦克劳级数

从下图我们可以发现，当函数e^x展开的次数越来越多时，多项式在x=0旁边的图像越来越逼近指数函数。

那么函数在x=0的泰勒展开的具体公式是怎么样的呢？如下：

这在x=0展开是特俗情况，一般的在x=a展开的情况如下：

为什么泰勒级数重要呢？

我们可以将泰勒级数当做一个运算符，这个运算机器吃进去函数，吐出来一大堆多项式，通过这样的表达，我们更容易理解，更容易对函数做一些其他的操作。

下面我们来看一个例子，贝塞尔曲线：

有没有发现它长得很像cos函数？但是好像分母上多了些东西，这会导致远离原点的地方，函数值越来越小，这样的函数可以很好的描述一些物理自然现象，比如石头落水生成的波纹，比如一首拿着铁链左右晃动。

references：

Math 104 https://class.coursera.org/calcsing-004/

PennCalc  http://calculus.seas.upenn.edu/

FLCT https://play.google.com/store/books/details/Robert_W_Ghrist_FLCT_Funny_Little_Calculus_Text?id=HbbeRHUozJcC&hl=zh_CN