Logistic Regression

1. Sigmoid Function

Sigmoid Function (也叫Logistic Function)的定义如下

它的函数图像如下

从上图可以看出，Sigmoid Function的函数值介于(0, 1)，当z0时，g(z)0.5; 当z0时，g(z)  0.5; 当z = 0时，g(z) = 0.5。

2. Logistic Regression

在线性回归中，我们假设

这里的输出为()。如果我们利用Sigmoid Function对它做一个归一化处理，就得到Logistic Regression

假设我们有两个类别，分别用1和0表示，当 0.5时，我们输出0；当0.5时输出1。这样，我们就使用Logistic Regression解决了一个只有两个类别的分类问题。

注意到 0.5对应的， 0.5对应的，其实就是两个类别的分界线，叫做Decision Boundary。

3. 训练模型

我们定义

它的函数图像如下

从上图可以看出，当较小时，我们倾向于选择y=0, 因为这时cost会比较小；而当较大时，我们倾向于选择y=1。这时，我们可以定义Logistic Regression的代价函数

和线性回归一样，我们仍然使用梯度下降法来求：

starts with some ;

repeats until convergence {

(Simultaneously update )

}

的部分推导过程见下图手稿

4. Regularization

和线性回归一样，Logistic Regression也可能出现overfitting的现象，我们仍然使用Regularization来解决这个问题。新的代价函数为

5.  多类别分类

上面讲的是只有两个类别的情况，如果有多个类别，如何使用Logistic Regression进行分类呢？先看一个简单的例子：

假设有3个类别C1, C2, C3，我们先训练一个针对C1的分类器，此时将C1类的样例标记为y=1，而将C2, C3类的样例都标记为y=0，于是将一个多类别的分类问题转换为一个只有两个类别的分类问题。这样得到一个针对C1的分类器，如下面左所示图

同理，针对C2、C3各训练一个分类器、。这样，对于任意的输入，分别计算、、，从中选择最大的，i即为的类别。

总结一下，当有多个(n)类别时，使用Logistic Regression进行分类的方法如下：

1. 针对每个类别训练一个分类器，计算y=i的几率（并不是概率的意思）

2. 对于新的输入，计算，计算，i即为的类别。