异或运算的一些知识

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用异或交换两个数就不说了，一般没人那么用，毕竟异或符号优先级低，容易产生错误。

简单的定理

若a=b^c

那么b=a^c , c=a^b

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2*k xor 2*k+1 = 1 

考虑n个连续数字异或

a xor a+1 xor a+2....xor a+n-1

可以取相邻的两个数凑成2*k xor 2*k+1

特殊处理一下两端的值即可。

考虑

a xor a+2 xor a+4... xor a+2*(n-1)

易知最后一位是不变的 其它位按上述方法处理即可。

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整数集对于异或运算构成一个群

满足封闭性、结合律、单位元和逆元。

那么有些加法的性质可以引申到异或运算中

比如 xorsum[l,r]=xorsum[0,r]^xorsum[0,l-1]

证明就是考虑数字的每一位。

若a[l,r]中某一位的1的个数为奇数，那么xorsum[l,r]那一位为1，

此时若a[0,l-1]那一位1的个数为奇，那么a[0,r]那一位1的个数为偶，xorsum[0,r]^xorsum[0,l-1]在那一位为1；

此时若a[0,l-1]那一位1的个数为偶，那么a[0,r]那一位1的个数为奇，xorsum[0,r]^xorsum[0,l-1]在那一位为1；

同理可证a[l,r]中某一位1的个数为偶数的情况。

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另外一个就是若a^b^c==0 那么对于任意0<k<=min(a,b,c)     (a-k)^(b-k)^(c-k)!=0

证明就是考虑k的某一位

首先a、b、c在该位为1的个数应为偶数，不然a^b^c!=0

若k在该位是1，那么a-k b-k c-k 会使得0变1 1变0 那么此时(a-k)^(b-k)^(c-k)在该位为1 不为0

若k在该位为0，那么无视，继续看k-1位，

由此可知若k>0 那么必有k在某位为1，此时(a-k)^(b-k)^(c-k)!=0

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