约瑟夫问题

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约瑟夫问题（Joseph Problem）：

n个人（编号由0, 1, ..., n-1）围成一圈，由编号0的人从1开始报数，报到m的退出，剩下的人继续从1开始报数，直到圈内只剩余1人，求胜利者的编号。(n>0, m>0)

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求解约瑟夫问题，很容易想到的常规方法是模拟，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(mn)，当m，n非常大的时候，这样的时间复杂度就显得太高了。

有没有一种方法，能够降低计算的复杂度呢？答案是肯定的。

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我们可以通过数学推理得到这样的方法：

定义每一轮新的报数开始前后，以当前报数为1的人向正方向结合剩余的人构成的环为约瑟夫环。不失一般性，不妨设这是从(i+1)人到i人的过程（i>=0）

报数前后，分别对应着两个约瑟夫环：

报数前：0, 1, 2, 3, ..., i

报数后：0, 1, 2, 3, ..., (i-1)

这两个报数前后的环，显然是有关系的，是什么样的关系呢？

推理步骤如下：

1）在(i+1)报数到m的过程中，出列者的号码是(m-1)%(i+1)，下一个报数人编号自然就是m%(i+1)，不妨设为k；

2）建立报数前后的对应关系：

k    ---> 0

k+1  ---> 1

k+2  ---> 2

...

k-2  ---> i-1

（要注意：k-1号在前一轮出局）

3）设在i人中，最终剩余者的编号是x，那对于(i+1)人作逆推，容易得到（i+1）人中最终剩余者的编号x'满足如下关系：

x'=(x+k)%(i+1)；

4）将（3）得到的公式作完整逆推，则可以得出最终的解；

用上述数学方法构建算法时间复杂度为O(n)，不需要额外空间，空间复杂度为O(1)

另外要说明的是，这个方法只能在o（n）的方法内求出第任意某个出去的人的位置。如果要求出整个出去序列，用这个方法还是o（n^2）的……求所以出去序列，用线段数可以做到o（nlog(n))..貌似没有比这个快的了……

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写完密码约瑟夫就想到原来看到约瑟夫问题的一个数学解法   很巧妙很简单 不过只能推出最后一个出列的人

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include <stdio.h>
int main()
{
  int n, m, i, s=0;
  printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
  for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
  printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。