去相关与维纳滤波

说到滤波，我们最容易想到的是频率选择的滤波，比如低通滤波，高通滤波。然后就是FIR与IIR滤波器。维纳滤波器则从另外一个角度来深化了滤波的概念。引用维基百科关于维纳滤波的一段表述如下：


“仅仅在频域进行滤波的滤波器，仍然会有噪声通过滤波器。维纳设计方法需要额外的关于原始信号所包含频谱以及噪声的信息，维纳滤波器具有以下一些特点：


1、假设：信号以及附加噪声都是已知频谱特性或者自相关和互相关的随机过程 


2、性能标准：最小均方差 


3、能够用标量的方法找到最优滤波器 


维纳滤波器的设计目的是就是滤除按照统计方式干扰信号的噪声。”


       由上面的这段表述可以看出，维纳滤波和我们熟悉的频率选择滤波器有一个非常明显的不同，即是维纳滤波器必须要考虑的信号的频谱或功率谱。而在通常的频率选择滤波器来说，虽然也要考虑信号的一些特性，但总的说来似乎与输入信号关系不大，主要考虑的是输出信号感兴趣的频率。


       关于维纳滤波的推导，维基百科上有，很多的教科书上也有，数学公式一大堆，需要一步一步推导。数学推导有一个很大的特点，当你按照步骤一步一步往下走的时候，感觉都没问题，但往往是越到后面就越迷糊，虽然也会得到正确的结果，但对这个结果却往往没什么感觉，因为等到有结果的时候，人也差不多晕菜了。而实际上，数学的推导不是目的，最重要的是对结果的认识和解读。


       在对维纳滤波器的理解中，去相关可能是一个非常直观的角度。假定输入的是一个被白噪声污染的信号x(n)=s(n)+v(n)，其中s(n)代表信号，v(n)代表噪声。期望信号是d(n)。y(n)表示x(n)通过维纳滤波器之后的输出。按照维纳滤波器误差能量最小的准则，即E[(y-d)2]最小。也就是说y(n)与d(n)相关性最强的情况下，误差能量最小。这时候即把误差能量准则转化为两个信号的相关性的问题了。我们知道，一般来说噪声与信号是不相关的的，噪声通过一个线性系统h(n)之后和信号也是不相关的。因此，为了使得y(n)与d(n)相关性最强，只能希望s(n)通过h(n)这个线性系统的输出与d(n)完全相关。这时候我们就很好理解，如果s(n)有和d(n)不相关的部分，那么这部分即便是通过一个线性系统之后，也仍然和d(n)不相关，这部分信号必定会反应在误差信号中。这也就是说，s(n)中只有和d(n)相关的部分才能对消掉。正是从这个意义上说，维纳滤波实际上就是一个去相关的过程。这在直观上很好理解，对于输入信号x(n)和期望输出d(n)，能对消的只有x(n)中与d(n)相关的部分，误差就是不相关的那部分。这也就是“不是一家人，不进一家门”吧。不相关的，无论是怎么变换，还是“形同陌路”。



在实际系统中，随机噪声的频谱也是覆盖整个信号范围的（例如白噪声）
因此所谓的频率选择滤波器此时自然无能为力了
其实维纳滤波也很好理解，即统计上最优的滤波器
最优是指滤波后的信号与原始信号的均方误差最小
统计是指对任何输入信号和任何加性噪声而言，即样本空间很大
而对于一个确定的输入信号，维纳滤波绝对不是最优的