《大学数学手册》摘抄

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\documentclass[hyperref,UTF8]{ctexart}\input{G:/重要文档链接/preamble}    % 导言区设置\begin{document}《大学数学手册》，上海交通大学数学系编，ISBN 7-313-02176-3。coder4101于2014年2月24日摘抄。\section{数、集合、映射、关系}数；集合；映射；运算及规律；关系。\begin{description}  \item[带余除法] 任意两个整数$ a,b(b\ne0) $, 必存在唯一的整数$ q $ 与 $ r $, 使$a=qb+r,0\le r<q.$ $q$与$r$分别称$a$被$b$除所得的商与余.若$ r=0 $, 称$a$能被$b$整除, $b$为$a$的因子, $a$与$b$的倍数, 记成$b|a$.  \item [2, 3, 5, 9, 11的倍数]\footnote{这在ACM里, 可以出一道大数判断整除的问题.}        $$  % 呵呵，我这里用数学公式来完成表格的矩阵居中效果。。。        \begin{tabular}{|c|c|}          \hline          % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...          整数$a$是以下值的倍数 & 则其十进位制表示的数具有性质 \\          \hline          2, 5, 3 & 略, 常识 \\          9 & 各个位的数字和是9的倍数 \\          11 & 11$|($偶数位数字和$-$奇数位数字和$)$ \\          \hline        \end{tabular}        $$  \item [最大公因数与最小公倍数] 若a, b为两个正整数, 记它们的最大公约数为$(a,b)$, 最小公倍数为$[a, b]$, 则有$ab=(a,b)[a,b]$.  \item [因式分解唯一定理] 任意正整数$a(>1)$, 可得标准分解式: $a=\sum\limits_{i = 1}^t {p_i^{{\alpha _i}}} $. $a$的正整数因子个数为$\sum\limits_{i=1}^{t} {(1+\alpha_i)}$. 若有另一正整数$b=\sum\limits_{i = 1}^t {p_i^{{\beta _i}}}$,\footnote{注意当$a$与$b$一同考虑时, “t”已经不是原来的“t”, 要对素因数集进行扩展, 即存在$\alpha,\beta$为0的值.} 则$(a,b)=\sum\limits_{i=1}^t {p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)}}$, $[a,b]=\sum\limits_{i=1}^t {p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}}$.  \item [幂集合] 以集合的所有子集为元素的集合. 集合$A$的幂集合记成$2^A$, 即$2^A=\{B|B\subseteq A\}$. 若集合$A$含$n$个元素, 则幂集合$2^A$含$2^n$个元素.\end{description}\section{初等数学}初等代数；平面几何；立体几何；平面三角；常用初等函数。\begin{description}  \item[基本代数公式] $(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2 b+3ab^2 \pm b^3$, $a^3\pm b^3 = (a\pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$, $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$, $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1})$.  \item[重要不等式] ~        \begin{enumerate}          \item $a^3+b^3+c^3\ge 3abc(a,b,c$为实数$)$.          \item $\sqrt[n]{{{a_1} {a_2} \cdots {a_n}}} \le \dfrac {{{a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_n}}}{n}(a_1,a_2,\cdots,a_n$ 为正数$)$, 等号当且仅当$a_1=a_2=\cdots=a_n$时成立. 即几何平均值小于算术平均值.          \item 伯努利不等式：设$a>1$,$n$为大于1的自然数, 则$a^n>1+n(a-1)$.        \end{enumerate}  \item[一元$n$次方程]${a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} +  \cdots  + {a_n} = 0,({a_0} \ne 0)$,\footnote{伽罗华理论：当$n\ge5$时, 一元$n$次一般代数方程无求根公式.} 根与系数的关系（韦达定理）：若$n$个根为${x_1},{x_2}, \cdots {x_n}$, 则$\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i} =  - \dfrac{{{a_1}}}{{{a_0}}}} $, $\sum\limits_{1 \le i < j \le n} {{x_i}{x_j} = \dfrac{{{a_2}}}{{{a_0}}}} $,\footnote{注意这里的${1 \le i < j \le n}$是一种很好的“遍历算法”表达方式, 以下的式子同理.}$\cdots$, $\sum\limits_{1 \le {i_1} < {i_2} <  \cdots  < {i_k} \le n} {{x_{{i_1}}}{x_{{i_2}}} \cdots {x_{{i_k}}} = {{( - 1)}^k}\dfrac{{{a_k}}}{{{a_0}}}} $,\newline $\cdots$, ${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = {( - 1)^n}\dfrac{{{a_n}}}{{{a_0}}}$.\footnote{书籍勘误:第20页的${a_1}{a_2} \cdots {a_n} = {( - 1)^n}\dfrac{{{a_n}}}{{{a_0}}}$ 应改为${x_1}{x_2} \cdots {x_n} = {( - 1)^n}\dfrac{{{a_n}}}{{{a_0}}}$.}  \item[阶乘] 双阶乘$(2n)!! = 2 \times 4 \times 6 \times  \cdots  \times (2n!) = {2^n} \times n$, $(2n + 1)!! = 1 \times 3 \times 5 \times  \cdots  \times (2n + 1) = \dfrac{{2(n + 1)!}}{{(2n)!!}}$. 史特林公式$n! = {(\dfrac{n}{e})^n}\sqrt {2n\pi } {e^{(\dfrac{\theta }{{12n}})}},(0 < \theta  < 1).$  \item[平面几何]\footnote{$R$与$r$分别为外接圆和内接圆半径. s为半周长.}    \begin{enumerate}      \item 等边三角形：若边长为$a$, 则$S = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}$. $R = 2r = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a$.      \item 平行四边形的面积为相邻两边长的积乘以夹角的正弦. 菱形\footnote{边长相等的平行四边形.}的面积为对角线长度乘积的一半.      \item 圆内接四边形：\par 四边为$a, b, c, d$, 对角线为$e, f$, 则 $ac+bd=ef$, $S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$.      \item 正多边形 圆心角$\theta  = \dfrac{{360\degree}}{n}$.      $$      \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}        % 这个表格行间距想调大点的        \hline        % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...        \diagbox{值}{} & 正方形 & 正五边形 & 正六边形 & 正$n$边形 \\        \hline        $R$ & $\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a$ & $\dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{10 + 2\sqrt 5 }}{5}} a$ & $a$ & $\dfrac{a}{{2\sin (\dfrac{\theta }{2})}}$ \\        $r$ & $\dfrac{a}{2}$ & $\dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{5 + 2\sqrt 5 }}{5}} a$ & $\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a$ & $ \dfrac{a}{2}\cot (\dfrac{\theta }{2})$ \\        $S$ & $a^2$ & $\dfrac{1}{4}\sqrt {25 + 10\sqrt 5 } {a^2}$ & $\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}{a^2}$ & $\dfrac{n}{2}{R^2}\sin \theta $ \\        \hline      \end{tabular}      $$    \end{enumerate}  \item[欧拉公式] 若一个多面体的面数位$f$, 棱数为$k$, 顶点数为$e$, 则$e+f-k=2$.\end{description}\section{解析几何}数轴与点的坐标；平面解析几何；向量；空间解析几何。\begin{description}  \item[凸$n$边形面积公式] n个点按逆时针方向坐标依次为$(x_i,y_i)$：\footnote{程序计算中, 可以拷贝第1个点作为第$n+1$个点的值, 故有右式.}  \[\dfrac{1}{2}\left(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\\{{y_1}}&{{y_2}}\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_2}}&{{x_3}}\\{{y_2}}&{{y_3}}\end{array}} \right| +  \cdots \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_{n - 1}}}&{{x_n}}\\{{y_{n - 1}}}&{{y_n}}\end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_n}}&{{x_1}}\\{{y_n}}&{{y_1}}\end{array}} \right|\right) = \dfrac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_i}}&{{x_{i + 1}}}\\{{y_i}}&{{y_{i + 1}}}\end{array}} \right|} \]  \item[直线关系] 设直线$l_i$的方程为$A_i x + B_i y + C_i = 0,(i=1,2)$.\footnote{记d=$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1}}&{{B_1}}\\{{A_2}}&{{B_2}}\end{array}} \right|$.}  $$  \begin{tabular}{|c|c|}    \hline    % after \\: \hline or \cline{col1-col2} \cline{col3-col4} ...    公式 & 性质 \\    \hline    $d=0$ & $l_1$与$l_2$平行或重合. \\    $A_1 A_2 + B_1 B_2=0$ & $l_1$与$l_2$垂直. \\    $d\ne0$ & $l_1$与$l_2$相交, 交点坐标为$ - \dfrac{1}{d}\left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{C_1}}&{{B_1}}\\{{C_2}}&{{B_2}}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1}}&{{C_1}}\\{{A_2}}&{{C_2}}\end{array}} \right|} \right)$ \\    % \hline    \hline  \end{tabular}$$   $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{y_1}}&1\\{{x_2}}&{{y_2}}&1\\{{x_3}}&{{y_3}}&1\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow$ 三点共线，$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_1}}&{{B_1}}&{{C_1}}\\{{A_2}}&{{B_2}}&{{C_2}}\\{{A_3}}&{{B_3}}&{{C_3}}\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow$  三线交于一点.  \item[过三点的圆的方程] \[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2}}&x&x&1\\{x_1^2 + y_1^2}&{{x_1}}&{{y_1}}&1\\{x_2^2 + y_2^2}&{{x_2}}&{{y_2}}&1\\{x_3^2 + y_3^2}&{{x_3}}&{{y_3}}&1\end{array}} \right| = 0\].\end{description}剩余section：微分学，积分学，数列与级数，代数学，微分方程，概率论与数理统计，复变函数，计算方法，积分变换，特殊函数，最优化方法.\end{document}