论大学数学的学习

 

论大学数学的学习

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        —— 一个宏观文本

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阴东升  张满立

摘要:  本文论述了一套有效的宏观数学学习理论。

关键词:  数学学习，脑，思维方式，懂，做数学

本文主要面向大学一年级的学生，向他们传播一套数学的学习观念，使得其有一个好的学习思想基础，以追求其学习能收事半功倍之效果。

学数学，是用脑学数学，因此，注意锻炼大脑、建立良好的学习意识、以及对数学有一个基本的了解，对学好数学都是必要的。本文重在帮助学生建立良好的学习意识。 

1 一种教育观念

大学四年，不仅是一个人人生中自在的四年，更是为其以后工作打基础的四年。在这四年中，通过具体知识的学习和基本技能的实践，重点提高以下三个方面的修养，对一个人未来的成长是至关重要的：（1）养成良好的学习习惯；（2）掌握正确的思维方式；（3）培养客观的生活态度。有了良好的学习习惯，以后就有了随着工作的需要而不断进行知识更新的能力；掌握了正确的思维方式，在解决学习、工作和生活中遇到的问题时，就会事半功倍；而有了客观的生活态度，就意味着你能理性地理解和对待生活中的各种人和事。举例而言，生活中存在着这样一种现象：A初次见到B，可能对其就有一种排斥心理。如果是这样，反映到学生的学习上，则还有进一步的表现：如果S不喜欢T老师，那十有八九他也不喜欢他的课。这时的S就没有客观的态度。教师是教师，课是课。哪位教师都代表不了他所教的课。可以说，超脱的心态造就较高的精神境界，这会直接影响一个人的生活品质。 

2 两类人

就数学学习而言，根据侧重点的不同，在逻辑上，人可分为两类：一是喜欢听的人—简称听类，一是喜欢看的人—简称看类。作为学生，前者喜欢到课堂听老师讲课，后者则喜欢自己看书。这两类人在各自的感觉系统上有所区别，接收信息的主渠道不同。

一个人应首先反省自己属于哪一类，以便对症下药，提高学习效率。看类可充分利用好网络与图书馆，听类则要建立课堂学习中的三种意识。 

3 听课三意识

为了提高学习收益，到课堂听讲者应注意建立以下三种意识，这三个方面也集中体现了课堂学习的优势，以及教师存在的必要性。（1）听显知识。教师讲课，一般情况下是有教材的。教师会首先讲解清楚其中的概念、公式、定理等显在的知识点及其要点。教师的讲解路线往往是书上没有的。（2）听隐知识。好的教师会讲清楚所涉知识背后的思想方法，会讲出知识发生、发展的一般路径及知识创造者相关的情感因素（美学因素居多）。这些相对于显知识点而言的隐知识是课本里没有的，而恰恰是这些方面，对于学生以后的主动创新是尤其有用的。（3）接受感染。身临其境听人讲，可以感受到教师处理问题的思维方式以及教师对相关学科的热情。

清晰、简洁而有激情的教学，可对学生的智慧与情感产生相当的影响。有感染力的教学会有效地激发学生的智商与情商。美国数学家Ulam就是一个非常典型的易受感染型数学家，他非常乐于参加数学讲座，并对这种学习方式倍加赞赏；而德国数学家Hilbert则是一个极其成功的讲座者、数学的诱惑大师。

4 读书三要素

学习就要读书。读谁写的书，读什么书，怎么读，这三个方面构成了读书三要素。

读大师写的书。大师之所以被称为大师，是因为其成就已经经过了时间的检验，其思想对相关领域产生了相当的影响并已成为主流。读这种人写的书可以避免走弯路，能使人尽快了解人类有关学科的主要成就和方法，并尽快进入前沿。挪威数学家Abel是这种观点的明确首倡者和实践者。

读启发式的书。书有多种写法。适当的逻辑演绎式的写法给人以整洁的美感；启发式或发生式的写法 — 写出作者得到一个结论的思维过程 — 则教给人真正的创造手法。相较而言，前者授人以鱼 — 给人的是经过艺术处理的作品，后者则授人以渔 — 教给人的是做事的方法。逻辑与启发并重自然最好，但这类作品太少。在笔者的读书经历里，只有荷兰数学家Van der waerden的世界名著《代数学》达到了这一境界。启发性强的经典作品首推Euler的《无穷小分析》。在现代，按这一手法进行写作的有代表性的数学家，非美国的Harold M. Edwards莫属，他不仅明确提出了这一写法的含义，并付之于实践，对Galois理论、Fermat大定理、以及Riemann假设等经典数学课题做了精彩的表述。

贯彻“极高明而道中庸”的读书原则。“极高明而道中庸”[1]是我国哲学家冯友兰先生对中国哲学精神的一个概括。类似于“源于生活，高于生活”的艺术精神。拿到这里，稍加特殊化局部改造，笔者意指“不仅读出书中所有，更要读出书中所没有”— 前半句侧重有效继承，后半句侧重继承后的发展 — 前者读文字，后者读空白 — 或曰：前者读行中，后者读行间。这是一个追求超越的读书原则。初级学习阶段重行中，研究阶段重行间。诚如数学家H. Crapo所说，“数学家读一本书，为的是读出它所没包含的”。 

5 懂的两类判据

不论是听还是看，学习就要学懂。什么叫懂？懂有两个判别标准，一是主观的，一是客观的。主观判据在于，学习者自己心里明白，自己对所学知识有了一个清楚的了解。客观判据则是要让别人知道，你真的知道所学知识是怎么回事。怎么判断？方法有四个，一是你能将所学知识讲给别人听，并让其明白（教师角色）；二是别人给你出与所学知识相关的题，你能正确地做出来，表明你懂了，这就是大家熟知的接受考试（学生角色）；第三是你能利用所学知识编题，并且自己会做，这就是大家熟知的考别人（教师角色）；第四就是你能主动利用所学知识解决某些实际或数学内部的问题，这就是大家平时所谓的应用研究（研究者的角色）。 

6 懂的两个程度

懂和懂是不一样的。这其中有一个懂的程度问题。宏观地讲，懂有理性逻辑地懂和直观地懂之分。理解了课本严格的逻辑处理方式中的每一步的懂，是匍匐前进的逻辑地懂。这是学习中常见的水平。而真正的懂是整体的直观地懂[3,4]。所谓直观地懂，就是对所学知识好象有一个先天的了解一样，一看就知道应该如此，觉着它很平凡。

直观地懂又可分为两类，一是神秘直观地懂，一是理性直观地懂。神秘直观地懂不能马上对直觉到的知识给出让人理解的理由，只是直觉者自己感觉如此。这方面的典型人物，当属印度数学家Ramanujan。他直觉到很多有关数论和组合分析的

公式（特别是恒等式），但起初都未给出逻辑证明。只是在英国数论大师Hardy慧眼识珠，将其请到剑桥合作后，才补足了一些逻辑证明。直到今天，记录有Ramanujan大量直觉性结论的笔记本还在被人研究，其中的一个代表人物是美国数学家Andrews。具有神秘直觉的人，有着与众不同的感觉神经系统。

理性直观地懂[4]又有两种类型。一是捷足型—头脑反映快，快速掌握了知识的逻辑过程，以至有一直观的感觉；一是捷径型—找到了了解所学知识的一条短的新路径。在这方面，阿基米德[5]曾给出一经典例子：用力学模型理解“三角形三条中线相交于一点”。思路是这样的：将三角形ABC看作一块质量均匀且无厚度的平板，并将其看作与BC平行的一些线杆的叠和物。每根杆的平衡点—重心就是其中点，因此，整个三角形的平衡点—力学的重心—肯定在这些中点的连线上。这条连线就是点A与对边BC之中点D的连线—即中线AD；同理，重心亦在另两条中线上。故三角形的三条中线相交于一点。这个点就是三角形面板的重心。当然，这种推理是不严密的似真推理[6]。数学家的很多结论起初都是借助于各类似真推理得到的，得到后，再设法进行逻辑的证实或证伪。这就是数学家“先猜后证”的一种工作模式。

课本往往是一个知识的逻辑体系。如果学习者能找到产生书中结论的一种似真推理，模拟数学家创造的过程，则对加深对知识的理解有极大的好处。不仅如此，在这一寻求直观懂的过程中，还能有效地锻炼学习者的创新思维能力。

传统的似真推理模式有归纳、特殊化、一般化及类比，尤其是类比。在数学史上，运用类比得到大量惊人结果的代表人物是Euler；而在现代，则是美国MIT的数学家、哲学家、心理学家G.-C.-Rota。对Rota而言，“秘密期待洞察，而洞察则期待类比”。

仅仅了解了上述学习观念，还不能保证学习有一个好的效果。要想真正学好数学，必须亲自去做。观念的有效性，只有通过实践才能显示出来。实践是检验真理的唯一标准。学数学的本质在于做数学。你去做了，对数学行为有了感觉，效果才会真正出来，才会真正进入数学的殿堂，享受数学之美。凡事都要找感觉。打球有球感，学习有思维之感。

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。以陆游的诗与大家共勉。 

参考文献

[1] 冯友兰，中国哲学之精神，北京：中国青年出版社，2005.

[2] Joseph P.S.Kung (Editor), Gian-Carlo Rota on combinatorics, Boston ：Birkhauser, 1995。

[3] 徐利治，阴东升，数学家的思维方式纵横谈，滨州师专学报，1992, No.2.

[4] 阴东升，自生长教育的观念，数学教育学报，1997, No.2.

[5] E.J.Dijksterhuis,  Archimedes, Corpenhagen: Ejnar Munksgaard, 1956.

[6] G.Polya,  Mathematics and plausible reasoning, vol.1, 1954;  vol.2, 1968.

Princeton Univ. Press.