MP算法和OMP算法介绍

正交匹配追踪算法是90年代初提出来的，主要目的是将信号在完备的字典库上进行稀疏分解。

1. 信号的稀疏表示(sparse representation of signals)

      预设一个过完备字典矩阵，矩阵每列表示一种原型信号的原子。可将一个信号y表示成这些原子的稀疏线性组合。即 y = Dx ，或者。所谓字典矩阵的过完备性，指的是原子的个数远远大于信号y的长度(其长度很显然是n)，即n<<k，也就是字典的列数远大于字典的行数。

2.MP算法(匹配追踪算法)

2.1 算法描述

       假定被表示的信号是长度为n的列向量，y。H表示Hilbert空间，在这个空间H里，由一组向量构成字典矩阵D，称每个向量为原子(atom)，其长度与被表示信号 y 的长度n相同，而且这些向量已作归一化处理，即|。

       MP算法的基本思想：从字典矩阵D（也称为过完备原子库中），选择一个与信号 y 最匹配的原子(也就是某列)，构建一个稀疏逼近，并求出信号残差，然后继续选择与信号残差最匹配的原子，反复迭代，信号y可以由这些原子的线性和，再加上最后的残差值来表示。如果残差值在可以忽略的范围内，则信号y就是这些原子的线性组合。

       现在的问题是：

        1)如何选择与信号y最匹配的原子？

        2)如何构建稀疏逼近并求残差？

        3)如何进行迭代？

        以下详细介绍使用MP进行信号分解的步骤：

       （1） 计算信号 y 与字典矩阵中每列(原子)的内积，选择绝对值最大的一个原子，它就是与信号 y 在本次迭代运算中最匹配的。用专业术语来描述：令信号，从字典矩阵中选择一个最为匹配的原子，满足，r0 表示一个字典矩阵的列索引。这样，信号 y 就被分解为在最匹配原子的垂直投影分量和残值两部分，即：

。

       （2）对残值R1f进行步骤（1）同样的分解，那么第K步可以得到：

， 

         其中 满足。

         可见，经过K步分解后，信号 y 被分解为：

，其中。

2.2 继续讨论

         (1)为什么要假定在Hilbert空间中？这是因为MP中的计算使用向量的内积运算，所以在Hilbert空间中进行信号分解理所当然了。

         (2)为什么原子要事先被归一化处理了，即上面的描述。内积常用于计算一个矢量在一个方向上的投影长度，这时方向矢量必须是单位矢量。MP中选择最匹配的原子是，是选择内积最大的一个，也就是信号(或是残值)在原子(单位的)垂直投影长度最长的一个，比如第一次分解过程中，投影长度就是。，三个向量，构成一个三角形，且和正交（不能说垂直，但是可以想象二维空间这两个矢量是垂直的）。

         (3)MP算法是收敛的，因为，和正交，由这两个可以得出，得出每一个残值比上一次的小，故而收敛。

2.3 MP算法的缺点

       如上所述，如果信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的，这会使得每次迭代的结果不是最优的而是次最优的，需要很多次迭代才会收敛。举个例子说明一下：在二维空间上，有一个信号 y 被 D=[x1, x2]来表达，MP算法迭代会发现总是在x1和x2上反复迭代，即，

这个就是信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影的非正交性导致的。

        再用严谨的方式描述[1]可能容易理解:在Hilbert空间H中，

，，

定义

，

它是这些向量的张成中的一个，MP构造一种表达形式：

，

这里的Pvf表示 f在V上的一个正交投影操作，那么MP算法的第 k 次迭代的结果可以表示如下(前面描述时信号为y，这里变成f了，请注意)：

如果  是最优的k项近似值，当且仅当。由于MP仅能保证，所以一般情况下是次优的。这是什么意思呢？是k个项的线性表示，这个组合的值作为近似值，只有在第k个残差和正交，才是最优的。如果第k个残值与正交，意味这个残值与fk的任意一项都线性无关，那么第k个残值在后面的分解过程中，不可能出现fk中已经出现的项，这才是最优的。而一般情况下，不能满足这个条件，MP一般只能满足第k个残差和xk正交，这也就是前面为什么提到“信号(残值)在已选择的原子进行垂直投影是非正交性的”的原因。如果第k个残差和fk不正交，那么后面的迭代还会出现fk中已经出现的项，很显然fk就不是最优的，这也就是为什么说MP收敛就需要更多次迭代的原因。不是说MP一定得到不到最优解，而且其前面描述的特性导致一般得到不到最优解而是次优解。那么，有没有办法让第k个残差与正交，方法是有的，这就是下面要谈到的OMP算法。

3.OMP算法

3.1 算法描述

      OMP算法的改进之处在于：在分解的每一步对所选择的全部原子进行正交化处理，这使得在精度要求相同的情况下，OMP算法的收敛速度更快。

那么在每一步中如何对所选择的全部原子进行正交化处理呢？在正式描述OMP算法前，先看一点基础思想。

       先看一个 k  阶模型，表示信号 f 经过 k 步分解后的情况，似乎很眼熟，但要注意它与MP算法不同之处，它的残值与前面每个分量正交，这就是为什么这个算法多了一个正交的原因，MP中仅与最近选出的的那一项正交。

(1)

 k + 1 阶模型如下：

(2)

应用 k + 1阶模型减去k 阶模型，得到如下：

(3)

我们知道，字典矩阵D的原子是非正交的，引入一个辅助模型，它是表示对前k个项的依赖，描述如下：

(4)

和前面描述类似，在span(x1, ...xk)之一上的正交投影操作，后面的项是残值。这个关系用数学符号描述：

请注意，这里的 a 和 b 的上标表示第 k 步时的取值。

将(4)带入(3)中，有：

（5）

如果以下两个式子成立，(5)必然成立。

(6)

(7)

令，有

其中。

ak的值是由求法很简单，通过对(7)左右两边添加作内积消减得到：

后边的第二项因为它们正交，所以为0，所以可以得出ak的第一部分。对于，在（4）左右两边中与作内积，可以得到ak的第二部分。

对于(4)，可以求出，求的步骤请参见参考文件的计算细节部分。为什么这里不提，因为后面会介绍更简单的方法来计算。

3.2 收敛性证明

通过(7)，由于与正交，将两个残值移到右边后求二范的平方，并将ak的值代入可以得到：

可见每一次残差比上一次残差小，可见是收敛的。

3.3 算法步骤

整个OMP算法的步骤如下：

由于有了上面的来龙去脉，这个算法就相当好理解了。

到这里还不算完，后来OMP的迭代运算用另外一种方法可以计算得知，有位同学的论文[2]描述就非常好，我就直接引用进来：

这里不理解为什么这样选择，会满足第一个算法流程中的正交性呢

对比中英文描述，本质都是一样，只是有细微的差别。这里顺便贴出网一哥们写的OMP算法的代码，源出处不得而知，共享给大家。

再贴另外一个洋牛paper[3]中关于OMP的描述，之所以引入，是因为它描述的非常严谨，但是也有点苦涩难懂，不过有了上面的基础，就容易多了。

它的描述中的Sweep步骤就是寻找与当前残差最大的内积时列在字典矩阵D中的索引，它的这个步骤描述说明为什么要选择内积最大的以及如何选择。见下图，说的非常清晰。

它的算法步骤Update Provisional Solution中求很简单，就是在 b = Ax 已知 A和b求x， 在x的最小二范就是A的伪逆与b相乘，即：

参考文献：

[1] Orthogonal Matching Pursuit:Recursive Function Approximat ion with Applications to Wavelet Decomposition
[2]http://wenku.baidu.com/view/22f3171614791711cc7917e4.html

[3] From Sparse Solutions of Systems of Equations to Sparse Modeling of Signals and Images