[编程之美] 2.1 求二进制数中1的个数

今天开始看《编程之美》了，这是一本评价很高的书，找工作当然少不了它。

部分题目已经在书中给出了答案，这里只是给出我的一些想法，有些也来源于此书，就当作做笔记吧。最后，感谢作者为我们奉献了一本优秀的程序员找工作宝典。

题目介绍：给定一个字节的无符号整型变量，求其二进制表示中“1”的个数，要求算法的执行尽可能高效。

因为题目要求算法尽可能高效，因此，对于书中的解法一大家应该不会考虑。不仅思路简单，而且其中用到的运算也很耗时，比如求余和除法。

大家最应该想到的应该就是解法二了，虽然思路同解法一一样，但使用了更为高效的位运算。

这里要提一下C++中的bitset，假如要求34的二进制表示中“1”的个数，可以这样来求：

bitset<8> b(34);cout << b.count() << endl;

上面的代码声明了一个8位的bitset变量b，然后调用b的count()函数，它返回的就是这个bitset中被置位的个数。

代码很简洁，但是，如果细看count()函数的代码，就知道，它采用的就是最简单的方式：

size_tcount() const _GLIBCXX_NOEXCEPT{ return this->_M_do_count(); }size_t_M_do_count() const _GLIBCXX_NOEXCEPT{    size_t __result = 0;    for (size_t __i = 0; __i < _Nw; __i++)        __result += __builtin_popcountl(_M_w[__i]);    return __result;}

count()会调用_M_do_count()，_M_do_count()会依次检测它的所有位。因此，代码虽然简洁，但是效率并不高。

解法三的想法很好，前面的思路基本都是遍历这个整型变量的所有位，而解法三期望复杂度只与“1”的个数有关。

int Count(BYTE v){    int num = 0;    while(v) {        v &= v - 1;        ++num;    }    return num;}

v与v - 1进行与操作可以将v的最后一个“1”变成0，从而得到有1个“1”。这种方式还是很巧妙的。

至于解法四和解法五都采用了用空间换时间的策略，只不过解法五更加直接。

扩展问题：

1. 如果变量是32位的DWORD，你会使用上述的哪一个算法，或者改进哪一个算法？

解法一的时间复杂度是O(logN)，也就是位数，而且使用了较慢的四则运算。

解法二的时间复杂度也是O(logN)，但使用的是位运算，效率较第一种高。

解法三的时间复杂度是该数中“1”的个数，且使用位运算，效率更高。

解法四用的case分支语句，时间复杂度依赖于给定的数。

解法五很直接，时间复杂度为O(1)。

当位数较多时，肯定是解法三更好。如果位数较少的话，解法四和五也可以。这里是32位，用解法三。

2. 给定两个正整数A和B，把A变成B需要改变多少位？也就是说，整数A和B的二进制表示中有多少位是不同的？

将A和B异或，当对应的位不同时，结果为1，然后求结果中有多少个“1”就OK了。