求出栈序列,二叉树,二叉搜索树的计数问题

求出栈序列,二叉树,二叉搜索树的计数问题

#include <iostream>using namespace std;const long long INF=1000000007;long long a[1001];void init(int n){    for(int i=0;i<n;i++)            a[i]=0;     a[0]=1;     a[1]=1;     for(int i=2;i<=n;i++){         for(int j=0;j<i;j++)         {                 a[i]+=a[j]*a[i-j-1];                 a[i]%=INF;         }     } }void func(){     init(1000);     int n;     while(cin>>n)     {                  if((n&1)==0)                  cout<<a[n/2]<<endl;// n/2的原因是栈操作个数是栈元素的2倍                  else                   cout<<0<<endl;     } }int main(int argc, char *argv[]){    //printf("Hello, world\n");func();return 0;}

二叉树的的计数

二叉树的计数所有递推关系:具有n个结点的二叉树可以视为由一个根结点,一棵具有i个结点的左子树和一棵具有n-i-1的右子树构成

于是

当n=0时 b=1

当n=1时显然b=1

类似问题:

树的计数

一棵树可以转换成唯一的一棵没有右子树的二叉树,反过来亦成立

因此,n 个结点的树的数目t(n)和n-1个结点的二叉树数目相同

出栈序列

栈的计数与二叉树计数性质一样,原因是二叉树中序遍历时需要栈,每一个中序形态对应了栈的进栈出栈序列,而前序与中序可以构成唯一的二叉树,所以给定n个数据的出栈序列计数与二叉树的计数是一致的

二叉搜索树

二叉搜索树的计数递推有两种方式理解:

1搜索树都可以由同等结构,按其值递增的二叉树转化而来(转化过程查阅相关文章)

2假设搜索树的值为1,2,3....n,设根结点值为i+1,则左子树为1,2,3....i,右子树为i+2,i+3.....n,

于是

当n=0时 b=1

当n=1时显然b=1

最后该递推式都可以根据数学中的生成函数得到公式

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=1,2,...)

即为卡特兰数