Joseph环问题

问题描述

n个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

算法

int JosephCircle(int n, int m) {int ret;if (n == 0)ret = 0;elseret = (JosephCircle(n-1, m) + m) % n;return ret;}

算法原理

长度为n的标准环，删除第m个元素后，长度为n-1，其中的元素与长度为n-1的标准环成一一对应关系，这样，只要再求出长度为n-1的标准环的问题值既可，从而，问题规模降1，可以递归解决

关键是找出这种对应关系

设原标准环为A0, A1 ... An-1

删除下标为k的元素后为A0, A1 ... Ak-1, Ak+1 .. An-1

形成的新环为                     Ak+1 ...   An-1,        A0 ...            Ak-1

而长度为n-1的标准环为     B0 ...       Bn-k-2,     Bn-k-1 ...     Bn-2

设原环下标为x，n-1标准环下表为y，则x = (y+k+1) % n

由于k = (m - 1) % n

从而得到原环下表和n-1标准环下标的对应关系

所以，若n-1标准环中问题值为r，则再n标准环中，它的值为(r + m) % n