AC自动机

          在多模式匹配问题中，我们需要处理的是这种类型的问题：定位模式集合P={P1,....Pk}在目标集合T={1.....m}中出现的次数。

令n=(|p1|+|p2|+|p2|.........+|pk|)

          那么多模式匹配可以在O(|P1| + m + ··· + |Pk| + m) = O(n + km)时间复杂性内完成，（通过调用线性模式匹配算法k次求得结果，

常见线性匹配算法KMP,BM等等）。

          Aho-Corasick算法是一个经典的解决多模式匹配的方法，它的时间复杂性是O(n + m + z),其中z是模式串在目标串中出现的次数。

Aho-Corasick算法是基于字典树或者称为关键字树的一种算法。

字典树

来自维基百科的定义：

在计算机科学中，trie，又称前缀树或字典树，是一种有序树，用于保存关联数组，其中的键通常是字符串。与二叉查找树不同，

键不是直接保存在节点中，而是由节点在树中的位置决定。一个节点的所有子孙都有相同的前缀，也就是这个节点对应的字符串，

而根节点对应空字符串。一般情况下，不是所有的节点都有对应的值，只有叶子节点和部分内部节点所对应的键才有相关的值。

一棵由模式串集合构造出来的字典树T有如下特点：

         1.T中的每一条边都被一个字符标志；

         2.从一个结点发出的任意两条边的标志都不同；

字典树(Trie Tree)结点定义为：

struct node{node *next[26];int cnt;node():pre(NULL),cnt(0){memset(next,NULL,sizeof next);}~node(){for (int i=0; i < 26; ++i)delete next[i];}};

用插入模式串的方法建立字典树的操作为：

void Insert(node *root,char *s){int i,j;for (i=0; s[i]; ++i){j = s[i]-'a';if (root->next[j]==NULL)root->next[j] = new node;root = root->next[j];}++root->cnt;}

字典树的查找操作也比较简单。

int Search(node* root, char *s){node* cur = root;int i,j;for(i=0; s[i]; ++i){j = str[i]-'a';if (cur->next[j]==NULL)break;cur=cur->next[j];}return cur->cnt;}

KMP的next数组的构造

Aho-Corasick算法的核心思想就是在字典树中加上KMP的next数组的思想，让我们回忆一下，KMP的next数组是如何工作的。

next[]保存的是以pattern[i]为末尾的前一最大前缀的位置,如果无公共前缀，则next[i]=0
    pattern string: abc.......abc....
                                     j             i:next[i]=j
匹配:                                          i
    src string       : abc.......abcd
    pattern string: abc.......abce...
                                                   j:失配
找最大公共前缀:                   i
    src string    : abc.......abcd
    pattern string:            abc.......abce...
                                                j=next[j]

next数组的目标是使得相同的部分abc无需再重复匹配，i下标不需要回溯，从而增加了效率。

AC自动机的pre指针思想如图示：实线表示next指针，虚线表示pre指针。

5号结点和2号结点有公共的前缀{h,e},因此5号结点的pre指针指向2号，即如果匹配至5号结点发生失配，则可以直接跳转至2号结点继续匹配，

而无须重新回到root结点，从而提高了效率。

同理有：

那么，如何从一棵字典树中构造出类似KMP一样的next数组呢？这就是Aho-Corasick算法最核心的地方，我们可以在每一个结点添加一个域，这里记为pre。

然后通过BFS按层次遍历整棵树的时候，实现pre指针的定位，具体见代码注释。

void ConstructPre(node *root)//构造类似KMP中的next数组，这里用pre表示，pre[i]即i失配时向前移动的位置{queue<node*> Q;Q.push(root);node *cur,*p;int i;while (!Q.empty()){cur = Q.front();Q.pop();for (i=0; i < 26; ++i){if (cur->next[i]==NULL)//越过空指针continue;for (p=cur->pre; p; p=p->pre)//从后往前求最大前缀对称串，{if (p->next[i])//找到一个前缀对称串，则记录{cur->next[i]->pre = p->next[i];break;}}if (p==NULL)//如果遍历至root依然找不到对称串，则置为root,类似KMP的next[i]置为0cur->next[i]->pre = root;Q.push(cur->next[i]);}}}

接下来是查找的部分，查找部分相对朴素的字典树查找有了一些区别，当已查找到某一叶子结点时，朴素的做法是回到root结点，重新查找，但是

这里加入了pre指针，我们不需要重新从root开始进行下一次查找，可以直接跳至pre指针指向的结点继续查找，因为它们有公共的前缀，当前结点

不为空的时候，朴素的做法是继续往下找，但是，这里，需要查找从当前结点至root的pre链表中统计记数，因为，公共前缀有可能就是某一模式串。

int Aho_Corasick(node *root,char *s)//很神奇的search{int i,j,sum=0;node *cur=root, *p=NULL;for (i=0; s[i]; ++i){j = s[i]-'a';while (cur != root && cur->next[j]==NULL)//如果找到某一匹配单词了，则回溯找另外匹配的，等等，cur = cur->pre;//为什么不记数呢？注意：因为在前一步已经记过数了，可以单步调试感受if (cur->next[j])cur = cur->next[j];//else cur = root;无须这一步，因为恒有cur==rootfor (p=cur; p!=root && p->count != -1; p=p->pre)//对pre链统计记数{sum += p->count;p->count = -1;}}return sum;}

最后，测试一道模板题目HDU2222

//AC自动机：Tried TREE中加上kmp的next数组思想//http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2222#include <string>#include <queue>#include <iostream>using namespace std;struct node{node *next[26];node *pre;int count;//保存的是当前结点的记数node():pre(NULL),count(0){memset(next,NULL,sizeof next);}~node(){for (int i=0; i < 26; ++i){delete next[i];}}};node *root = NULL;void Insert(node *root,char *s)//普通的字典树插入，建立一棵字典树{int i,j;node *p = root;for (i=0; s[i]; ++i){j = s[i]-'a';if (p->next[j]==NULL)p->next[j] = new node;p = p->next[j];}++p->count;}void ConstructPre(node *root)//构造类似KMP中的next数组，这里用pre表示，pre[i]即i失配时向前移动的位置{queue<node*> Q;Q.push(root);node *cur,*p;int i;while (!Q.empty()){cur = Q.front();Q.pop();for (i=0; i < 26; ++i){if (cur->next[i]==NULL)//越过空指针continue;for (p=cur->pre; p; p=p->pre)//从后往前求最大前缀对称串，{if (p->next[i])//找到一个前缀对称串，则记录{cur->next[i]->pre = p->next[i];break;}}if (p==NULL)//如果遍历至root依然找不到对称串，则置为root,类似KMP的next[i]置为0cur->next[i]->pre = root;Q.push(cur->next[i]);}}}int Aho_Corasick(node *root,char *s)//很神奇的search{int i,j,sum=0;node *cur=root, *p=NULL;for (i=0; s[i]; ++i){j = s[i]-'a';while (cur != root && cur->next[j]==NULL)//如果找到某一匹配单词了，则回溯找另外匹配的，等等，cur = cur->pre;//为什么不记数呢？注意：因为在前一步已经记过数了，可以单步调试感受if (cur->next[j])cur = cur->next[j];//else cur = root;无须这一步，因为恒有cur==rootfor (p=cur; p!=root && p->count != -1; p=p->pre)//对pre链统计记数{sum += p->count;p->count = -1;}}return sum;}char s[110];char text[1000010];int main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("2.txt","r",stdin);#endifint T,n;scanf("%d ",&T);while (T--){root = new node;scanf("%d ",&n);while (n--){gets(s);Insert(root,s);}gets(text);ConstructPre(root);printf("%d\n",Aho_Corasick(root,text));delete root;}return 0;}

参考资料

AC自动机-Set Matching and Aho-Corasick Algorithm