阶跃函数的导数为什么是冲击函数 The derivative of heaviside step function is delta function

如果我今天没搞懂这个，我估计我会抑郁到不能睡觉。

heaviside step function 就是所谓的阶跃函数：

定义

图像：

dirac delta function 狄利克雷函数，通常所说的冲击函数：

定义：

函数图像：

提出问题:

为什么heaviside step 函数的导数就是 dirac delta 函数呢？

感觉上是挺“靠谱”。阶跃函数嘛，在0点左右两侧导数都是0，然后0点导数无穷大，和delta函数对应得很好。

数学不是所谓“靠谱”就能搞定的。要证明，当然。。。我个数学渣渣，证明完全不行，而且各种大牛都已经证明过了。

只是。。。证明过的我都差点没看懂。于是，留下这篇blog，叨叨这个“为什么”，以及这个证明过程中，

我遇到的困惑，和怎么解决的。

看看这段话吧，

If D is a distribution, we want to define another distribution D′, its distributional derivative. This done by declaring D′ by (D′)(f)=−D(f′); 

more generally, the n-th distributional derivative D(n) of D is defined by (D(n))(f)=(−1)n(f(n)). This is ok, since we assumed the test functions f 

to be infinitely differentiable; it follows that distributions are infinitely differentiable (in another, in this sense). Notice the minus sign. This is because 

we want distributional derivatives to extend the ordinary derivative, notice that if d is differentiable, ∫Rd′(x)f(x)dx=−∫Rd(x)f′(x)dx since the

 boundary term vanishes by the decay condition imposed on the test functions f.

看懂了也就知道为什么了，如果没看懂，那这篇blog还可以继续看下去。。。

我遇到的问题就是为什么

会有如此“操蛋”的事情捏。。。。。完全不符合分布积分的公式哇。。。(v*u)' = v'*u + v*u'

之后是各种苦恼。

Nothing to it.

注意这里是用了分布积分公式的！只是有一项被略去了，因为等于0！

H(x)是阶跃函数，那个希腊字母(x)是速降函数(不知道什么叫速降函数，其实就是指数函数，系数是负数)

这两个函数的乘积在正负无穷远处的值都是0，于是正无穷处的值减去负无穷处的值，0 - 0 = 0

于是就有  0    

理所当然的就有了上面的积分等式

我们用一种简单的标记方式来表示 ---->      <a , b'>

于是

∫Rd′(x)f(x)dx=−∫Rd(x)f′(x)

b的导数就是狄利克雷函数，有木有！b是什么，阶跃函数!

阶跃函数的导数就是狄利克雷函数，证明完毕！

开心，睡觉

The . L

 于 XTU  2014.03.13 凌晨