数据结构——左高树（C语言）

    介绍左高树之前，先简单介绍下扩充二叉树的概念。扩充二叉树一棵二叉树，其所有空的子树都由方形结点代替。方形结点称为外部结点，原来的结点称为内部结点。

    设x是扩充二叉树的一个结点，并令left_child(x)和right_child(x)分别表示内部结点的左、右儿子。定义shortest(x)为从x到一个外部结点的最短路程长度。

左高树

定义

左高树是一棵二叉树，且如果该二叉树不空，则对其中的每个内部结点x，都有：

Shortest(left_child(x))>= Shortest(right_child(x))。

    左高树的一个应用是合并操作,应用场景是:当某个优先队列的服务器关闭时,就需要将其与另一个正在运行服务器的优先队列合并.如果两个队列的元素总数为n,则一般的堆结构的复杂度为n,但是左高树可以达到log(n).插入和删除操作都可以通过合并操作来完成。

    最小（最大）左高树是一棵左高树，其中的每个内部结点的关键字值不大于（不小于）该结点的儿子结点的关键字值。

以下讨论最小左高树的操作：

    插入和删除最小元素操作都可以通过合并操作来完成。要把元素x插入到左高树A中，先建立一棵只有一个元素x的最小左高树B，再合并最小左高树A和B。要从一棵非空最小左高树A删除最小元素，则只需合并最小左高树A的左子树和右子树，再把最小左高树的根结点删除。

以下重点介绍最小左高树的合并操作。

    假设要合并最小左高树A和B，首先，沿着A和B的最右路径，得到一棵包含A和B所有元素的二叉树（注意：这里只是得到二叉树，而不是最小左高树）。使得该二叉树具有以下性质：所有结点的关键字都不大于其儿子结点关键字。必要时交换结点的左、右子树，将其转化为最小左高树。

合并操作

步骤：

1、 假设合并最小左高树A和B，首先比较两棵树根结点的关键字值，以最小的关键字作为新二叉树的根结点。

2、 保留A的左子树不变，将其右子树与最小左高树B合并，合并后的二叉树成为新的A的右子树。

3、 把二叉树转换为最小左高树从最后一个修改结点（注意：这里不是最后结点）开始，回溯到最终的树根结点，使得路径上的所有结点满足不等式：shortest（left_child()）>= shortest（right_child()）

程序：

函数定义：

#ifndef LEFTIST_TREE_H_INCLUDED#define LEFTIST_TREE_H_INCLUDED#include <malloc.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define MAX_SIZE  11#define SWAP(x,y,t) ((t)=(x),(x)=(y),(y)=(t))typedef struct lefttree *LeftistTree;typedef struct lefttree{    LeftistTree left_child;    LeftistTree right_child;    int data;    int shortest;}left_tree;void min_uion(LeftistTree*a,LeftistTree*b);void init_left_tree(LeftistTree *a,int data);void min_combine(LeftistTree *a,LeftistTree *b);void show_pre_tree( LeftistTree *a );/*初始化二叉树*/void init_left_tree(LeftistTree *b,int data){    if(!*b)    {        *b=(LeftistTree)malloc(sizeof(left_tree));        (*b)->data=data;        (*b)->left_child=NULL;        (*b)->right_child=NULL;        (*b)->shortest=1;    }}/*合并两棵树*/void min_combine(LeftistTree *a,LeftistTree *b){    if(!*a)        *a=*b;    else if(*b)        min_uion(a,b);    *b=NULL;}/*合并两棵最小左高树*/void min_uion(LeftistTree*a,LeftistTree*b){    LeftistTree temp=NULL;    if((*a)->data>(*b)->data)//比较两棵树根结点大小        SWAP(*a,*b,temp);    if(!(*a)->right_child)//右子树是否为空            (*a)->right_child=*b;    else        min_uion(&(*a)->right_child,b);//把a右子树和b合并    if(!(*a)->left_child)        {            (*a)->left_child=(*a)->right_child;            (*a)->right_child=NULL;        }    else if((*a)->right_child->shortest>(*a)->left_child->shortest)        SWAP((*a)->right_child,(*a)->left_child,temp);    if(!(*a)->right_child)        (*a)->shortest=1;    else        (*a)->shortest=(*a)->right_child->shortest+1;}/*先序递归遍历最小左高树*/void show_pre_tree(LeftistTree *a){    if (*a)    {        printf("%d ", (*a)->data );        show_pre_tree( &(*a)->left_child );        show_pre_tree( &(*a)->right_child );    }}#endif // LEFTIST_TREE_H_INCLUDED

程序测试：

#include "leftist_tree.h"int main(){    LeftistTree a=NULL;    LeftistTree b=NULL;    int i,data;    for(i=1;i<MAX_SIZE-5;i++)    {        scanf("%d",&data);        init_left_tree(&b,data);        min_combine(&a,&b);    }    show_pre_tree(&a);    return 0;}