HOJ (1042) 整数划分

 

题目：http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=1402

整数划分问题

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整数划分是一个经典的问题。希望这道题会对你的组合数学的解题能力有所帮助。

Input

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

Output

对于每组输入，请输出六行。

第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行： 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行： 打印一个空行。

Sample Input

5 2

Sample Output

72333

Hint:

1. 将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2. 将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1
3. 将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4. 将5划分成若干奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5. 将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

 

/*

　　这是一道非常经典的DP题目，将各种情况综合到一起，对递推思想的理解有很大的帮助啊。

　　1.将n划分成不大于m的划分法：

　　　　1).若是划分多个整数可以存在相同的：

　　　　 dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
　　　　 则划分数可以分为两种情况:
　       　a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
　　       b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];

　　　　2).若是划分多个不同的整数：

　　　　dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1] dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
　　　　 同样划分情况分为两种情况：
　　　　a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
　　　　b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，

　　　　　并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1]

　　2.将n划分成k个数的划分法：

　　　　　　dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

　　　　方法可以分为两类：
　　　　　　第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分
　　　　到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]
　　 　　　　第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩
　　　　下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]

　　3.将n划分成若干奇数的划分法：

　　　　　　f[i][j]:将i划分为j个偶数

　　　　　　g[i][j]:将i划分为j个奇数
　　 　　f[i][j] = g[i - j][j];
　　　　 g[i][j] = g[i - 1][j - 1] + f[i - j][j];

　　　　方法可以分为两类：

　　　　　　对于偶数f[i][j]:      i 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 j 个 1 分

　　　　到每一份，然后再把剩下的 i - j 分成 j 个奇数即可，分法有: g[i-j][j]

　　 　　　  对于奇数g[i][j]:     i 份中至少有一份为 1 的分法，可以先那出一个 1 作为单独的1份，剩

　　　　下的 n-1 再分成 j- 1 份即g[i - 1][j - 1],还有就是没有一份为 1 的分法可以先拿出 j 个 1 分

　　　　到每一份，然后再把剩下的i - j 分成 j 个偶数即f[i-j][j]，分法有：g[i-1][j-1] + f[i-j][j]

　　　　注：第1，2种情况参考了http://www.cnblogs.com/xiaoxian1369/archive/2011/09/12/2174212.html

*/

#include <stdio.h>#include <string.h>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn = 52;int dp13[maxn][maxn];int dp2[maxn][maxn];int dp5[maxn][maxn];int g[maxn][maxn];//奇数int f[maxn][maxn];//偶数int n,k;void cal(){    for(int i = 0;i < maxn;i++){        dp13[i][0] = dp13[0][i] = 0;        dp2[i][0] = dp2[0][i] = 0;        dp5[i][0] = dp5[0][i] = 0;    }    for(int i = 1;i < maxn;i++){        for(int j = 1;j < maxn;j++){            if(i < j){                dp13[i][j] = dp13[i][i];                dp2[i][j] = 0;                dp5[i][j] = dp5[i][i];            }            else if(i == j){                dp13[i][j] = dp13[i][j-1] + 1;                dp2[i][j] = 1;                dp5[i][j] = dp5[i][j-1] + 1;            }            else{                dp13[i][j] = dp13[i-j][j] + dp13[i][j-1];                dp2[i][j] = dp2[i-1][j-1] + dp2[i-j][j];                dp5[i][j] = dp5[i-j][j-1] + dp5[i][j-1];            }        }    }    f[0][0] = g[0][0] = 1;    for(int i = 1;i < maxn;i++){        for(int j = 1;j <= i;j++){            f[i][j] = g[i - j][j];            g[i][j] = g[i-1][j-1]+f[i-j][j];        }    }}int main(){    cal();    while(~scanf("%d%d",&n,&k)){                int dp4 = 0;        for(int i = 0;i <= n;i++)            dp4 += g[n][i];        printf("%d\n%d\n%d\n%d\n%d\n\n",dp13[n][n],dp2[n][k],dp13[n][k],dp4,dp5[n][n]);    }    return 0;}