Dijkstra最短路径问题求解

Dijkstra（迪科斯彻）无负权值最短路径问题。此方法可以计算有向图，无向图中任意两结点间最短路径，但路径的权不能为负。

Dijkstra最短路径算法又分顺向和逆向。比如计算某图中结点a到结点b的最短路径，顺向Dijkstra算法是从起点结点a开始延伸，一直到终点结点b；而逆向Dijkstra算法是从终点结点b开始延伸，一直到起点结点a。本文只介绍顺向Dijkstra算法，也是最常用的。

首先定义几个概念，方便后续的描述：

如果选择从结点i向其所有相邻可达的结点延伸，则称结点i为延伸点；没有充当过延伸点的结点称为可变标记点，充当过延伸点的结点称为固定标记点。延伸点只从可变标记点中选取。

假设取结点1为源点，用(i,kj)来标记结点j，其中i表示是从结点i延伸到j，kj表示从源点1到结点j的路径长度，且此时j为可变标记点。若结点j是固定标记点，则使用[i,kj]来标记。
假设图中有n个结点，结点1为源点，结点n为汇点，计算从结点1到结点n的最短路径。
Dijkstra算法步骤：
1、给图中结点j(j=1,2,3,...,n)一个可变标记(1,kj)，1表示从结点1延伸到j，kj表示路径长度，j=1时，kj=0,j=2,3,...,n时，kj=∞。
2、选择所有可变标记点中kj最小的结点x。若结点j不存在，则运算结束；否则转到3。
3、对于结点x相邻可达的每一个非固定标记点y，若kx+dxy<ky，则把结点y的标记修改为(x,kx+dxy)；否则不修改。
4、将结点x的标记修改成固定标记，转到2。

如图1，计算结点1到结点7的最短路径长度及走向。

首先加上初始可变标记，如图2。

所有可变标记中，结点1标记的长度最小为0，所以从结点1向其相邻可达的可变标记点2和3延伸，延伸到结点2的距离为0+5=5<∞，则修改结点2的标记为(1,5)，延伸到结点3的距离为0+9=9<∞，则修改结点3的标记为(1,9)，修改结点1的标记为固定标记[1,0]，如图3。

此时，所有可变标记中，结点2标记的长度最小为5，所以从结点2向其相邻可达的可变标记5延伸，延伸到结点5的距离为5+12=17<∞，修改结点5的标记为(2,17)，修改结点2的标记为固定标记[1,5]，如图4。

此时，所有可变标记中，结点3标记的长度最小为9，所以从结点3向其相邻可达的可变标记4和6延伸，延伸到结点4的距离为9+15=24<∞，修改结点4的标记为(3,24)，延伸到结点6的距离为9+23=32<∞，修改结点6的标记为(3,32)，修改结点3的标记为固定标记[1,9]，如图5。

此时，所有可变标记中，结点5标记的长度最小为17，所以从结点5向其相邻可达的可变标记4和7延伸，延伸到结点4的距离为17+5=22<24，修改结点4的标记为(5,22)，延伸到结点7的距离为17+14=31<∞，修改结点7的标记为(5,31)，修改结点5的标记为固定标记[2,17]，如图6。

此时，所有可变标记中，结点4标记的长度最小为22，所以从结点4向其相邻可达的可变标记6和7延伸，延伸到结点6的距离为22+8=30<32，修改结点6的标记为(4,30)，延伸到结点7的距离为22+7=29<31，修改结点7的标记为(4,29)，修改结点4的标记为固定标记[5,22]，如图7。

此时，所有可变标记中，结点7标记的长度最小为29，但结点7无相邻可达的可变标记点，修改结点7的标记为固定标记[4,29]。此时，结点6是唯一的可变标记，修改为固定标记[4,30]。至此，运算结束，最终结果如图8。

得到结点1到结点7的最短路径长度为29，倒退找出路径走向为：7<=4<=5<=2<=1。同时也得到了结点1到其他各结点的最短路径：6<=4<=5<=2<=1，长度为30；5<=2<=1，长度为17；4<=5<=2<=1，长度为22；3<=1，长度为9；2<=1，长度为5。
在此算法中，如果计算结点1到结点4的最短路径，一旦结点4成为固定标记点，即可结束运算，得到最短路径长度及走向，以提高计算效率。有了这样一个思路，代码就easy了。

代码的思路与算法步骤类似，需要输入结点数N和边信息矩阵d，且d[i][j]中有规定，若结点i,j直接可达，则d[i][j]为权值；若i等于j，则d[i][j]为0；若i,j不直接可达，则d[i][j]为无穷大（可以定义一个足够大数，充当无穷大，但最好不要使用int型数据所能表示的最大数）。

为编程方便，结点的下标从0开始，本代码只是针对本例题的，即路径的起点结点是1，提供本代码旨在抛砖引玉，在本代码的基础上稍作修改，即可实现计算任何两结点之间的最短路径。

#include<iostream>using namespace std;#define H 1000000class NODEtag//标记类{public:NODEtag():tag(0){}int node;//延伸结点int length;//长度int tag;//tag == 0表示可变标记，tag == 1表示固定标记};int getminlength(NODEtag *nodetag,int n)//寻找可变标记中长度最小的结点{int i,len = H,t = -1;for(i=0;i<n;i++){if(nodetag[i].tag == 0&&nodetag[i].length < len){len = nodetag[i].length;t = i;}}return t;}void shortpath(int **d,int N,NODEtag *nodetag)//计算最短路径{int i,t,n = N;while(n--){t = getminlength(nodetag,N);//获取当前可变标记结点中，长度最短的结点for(i=0;i<N;i++){if(d[t][i] != -1&&nodetag[i].tag == 0&&t != i)//相邻可达的可变标记点{if(nodetag[t].length + d[t][i] < nodetag[i].length){nodetag[i].node = t;nodetag[i].length = nodetag[t].length + d[t][i];}}}nodetag[t].tag = 1;}}void getpath(NODEtag *nodetag,int n)//获取路径走向，从终点开始以倒退方式找出路径{cout<<n+1;while(n!=0){n = nodetag[n].node;cout<<" <= "<<n+1;}cout<<endl;}int main(){int **d,N,i,j;NODEtag *nodetag;cout<<"输入结点数: ";cin>>N;d = new int*[N];cout<<"输入边信息矩阵:"<<endl;for(i=0;i<N;i++){d[i] = new int[N];for(j=0;j<N;j++)cin>>d[i][j];}nodetag = new NODEtag[N];for(i=0;i<N;i++)//结点标记初始化{nodetag[i].node = 0;nodetag[i].length = (i==0?0:H);nodetag[i].tag = 0;}shortpath(d,N,nodetag);//计算最短路径cout<<endl<<"结点1到其余结点的最短路径信息："<<endl;for(i=1;i<N;i++)//输出最短路径长度，及走向{cout<<"结点1到"<<i+1<<"长度为："<<nodetag[i].length<<"，走向为：";getpath(nodetag,i);}for(i=0;i<N;i++)//释放内存delete[] d[i];delete[] d;delete[] nodetag;return 0;}

程序运行截图如下，所得结果与之前分析一直。本程序中对2结点间不可达的情况未做处理，大家可以自己补上！

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