对于网络平衡（Structural Balance/Social Balance）的总结

对于网络平衡（Structural Balance/Social Balance）的总结

最近，看了很多有关网络平衡（Structural Balance）的论文，在这里简单地总结一下。
一、网络平衡的发展
网络平衡有时也称社会平衡（Social Balance），就网络平衡的发展来说，我们可以将其分为三个发展阶段。
1、网络平衡理论的提出
“网络平衡”一词最早是由Heider基于对社会心理学的研究而提出的，Heider在1946年的文章Attitudes and cognitive organization[1]中针对网络平衡的概念提出了最早的平衡理论：
（1）朋友的朋友是朋友；
（2）朋友的敌人是敌人；
（3）敌人的朋友是敌人；
（4）敌人的敌人是朋友。
用常见的三元组合来表示上述的Heider理论如下：

上述的平衡理论是有关网络平衡提出的最早的理论，它后来也被称为是强平衡理论。

1956年，Cartwright和Harary对Heider的平衡理论进行了推广，并将其用在了图理论中（STRUCTURAL BALANCE: A GENERALIZATION OF HEIDER'S THEORY[2]）。Cartwright和Harary指出对于一个符号网络而言，网络平衡的充要条件是网络中的所有三元组都是平衡的，该结论也可以陈述为一个符号网络平衡的充要条件是它所包含的所有回路（cycles）都是平衡的（“-”号的个数为整数个）。而且，在这篇文章中，他们还提出了著名的结构平衡理论：如果一个符号网络是平衡的，那么这个网络就可以分为两部分子网络，其中每个子网络内部中节点的连接都是正连接，网络之间的连接均为负连接。

在这各阶段网络平衡的发展的重心主要在于构建网络平衡的心理学和社会学模型。

2、网络平衡的数学模型

在有了Heider等人的奠基工作后，有关网络平衡的发展主要是构建其数学模型，比如网络的动态表现，一个网络连接如何随时间的变化而变化，网络中节点之间的朋友或者敌人的关系如何演化等等。

3、网络平衡的应用

最新关于网络平衡方面的研究大都是研究一些在线网络，比如对某个网站用户属性的分析等等。而且，目前我们身处大数据时代，我们所要研究的网络规模也变为了大型甚至可以说是超大型网络，这这个背景下，如何计算一个网络是否平衡便成为该领域的主要热点问题。

二、网络平衡的基本理论

1、Heider理论（强平衡理论SBT）。

2、结构平衡理论（Structural Balance Theroem）：在完全符号网络中，网络平衡的充要条件是其所有的三元组（回路）都平衡。

结构平衡的推论：一个完全符号网络平衡的充要条件是它可以被分为两部分X和Y，X和Y内部的节点连接均为正连接，X和Y之间的连接均为负连接。

3、弱平衡理论（A weaker form of structural balance，WSBT）：如果完全符号网络中不存在这样的三元组：两个边为正，一边为负，则该网络称为是弱平衡网络。

对于弱平衡理论而言，上图的三元组中，三边均为负连接的三元组也属于平衡三元组，也就是三元组的四种情况有三种属于平衡状态，一个属于不平衡状态（两边为正，一边为负）。

弱平衡网络推论：如果一个网络为弱平衡理论，那么它可以分为多个部分，每部分内的连接为正，部分之间的连接为负。

4、对任意网络平衡的定义.

（1）对于一个任意网络而言，如果我们可以将它所缺失的边填充使它成为一个平衡的完全符号网络，那么原网络就是平衡网络；
（2）对于一个任意网络而言，如果我们可以将它分为两部分，使得每个部分内的连接均为实线，部分之间的连接均为虚线。
以上的两种定义是等价的。
一个符号网络平衡的充要条件是它不包括含有奇数个负连接的回路。

5、近似平衡网络（略）。

三、网络平衡的计算（A spectral algorithm for computing social balance）
命题1：节点i参与的三元组数目

A为邻接矩阵，元素取值可能为：1，-1,0；
G为邻接矩阵，元素取值可能为：0,1.
命题2：对于节点i而言，bi为其参与的平衡三元组数目，ui为其参与的不平衡三元组数目，则

理论1：对于完全符号图而言，平衡三元组所占的比例为

理论2：对于任意符号网络，平衡三元组所占的比例为

注：以上两个计算网络平衡的公式中，特征值可以随大到小选择前几个比较大的，就像PCA那样，这样可以使得计算的复杂度大大减小。