【01 背包问题(动态规划法解决)】
来源:互联网 发布:java虚拟机apk 编辑:程序博客网 时间:2024/06/09 19:38
给定N中物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值位Vi ,背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品,使得转入背包的物品的总价值为最大??
在选择物品的时候,对每种物品i只有两种选择,即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次,也不能只装入物品的一部分。因此,该问题被称为0-1背包问题。
动态规划是用空间换时间的一种方法的抽象。其关键是发现子问题和记录其结果。然后利用这些结果减轻运算量。因为背包的最终最大容量未知,所以,我们得从1到M一个一个的试,比如,刚开始任选N件物品中的一个,看对应的M的背包,能不能放进去,如果能放进去,并且还有多少空间,则,多出来的空间能放N-1物品中的最大价值,怎么能保证总选则是最大价值呢,看下表:
测试数据:
10,3
3,4
4,5
5,6
这里i 表示放入物品的个数,j表示背包的容量。
c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.
这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候,最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候,最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候,则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候,很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.
从以上最大价值的构造过程中可以看出。
c(n,m)=max{c(n-1,m), c(n-1,m-w[n])+P(n)}这就是书本上写的动态规划方程.
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前n件物品放入重量为m的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前n-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前n-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为c[n-1][m];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前n-1件物品放入剩下的重量为m-w[n]的背包中”,此时能获得的最大价值就是c[n-1][m-w[n]]再加上通过放入第i件物品获得的价值p[n]。
代码:
#include<cstdio>#include<cstring>int c[10][100];int knapsack(int m,int n){ int i,j,w[10],p[10]; for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]); memset(c,0,sizeof(c));/*初始化数组*/ for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=m;j++){c[i][j]=c[i-1][j]; if(w[i]<=j){/*如果当前物品的容量小于背包容量*/ if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j]) c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]]; } } return (c[n][m]);}int main(){ int m,n,i,j; scanf("%d,%d",&m,&n); printf("%d",knapsack(m,n));}
一维代码转化:
for i=1..N //枚举物品 for v=V..0 //枚举容量,从大到小 f[v]=max{f[v],f[v-weight[i]] + cost[i]};
初始化:
(1)若要求背包必须放满,则初始如下:
f[0] = 0 , f[1...V]表示-INF。表示当容积为0时,只接受一个容积为0的物品入包。
(2)若要求背包可以空下,则初始化如下:
f[0...V] = 0 ,表示任意容积的背包都有一个有效解即为0。
具体解释如下:
初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。
如果要求背包恰好装满,那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”,
其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应该是-∞了。
如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,
这个解的价值为0,所以初始时状态的值也就全部为0了。
可以转化为0-1背包的问题:
思想:题目就是要你均分,如果不能均分就尽量使两堆重量/票价差距最小。可以想象成有一堆物品,两个容器(容量和除以2),只要保证把其中一个容器的容积尽量加满(当然恰好能满最好),这就转化成了0,1背包问题了。代码就简单了
典型例子:
http://blog.csdn.net/lavendermaple/article/details/21629477
http://blog.csdn.net/lavendermaple/article/details/21630585
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