动态规划解决01背包问题

问题描述：

给定N中物品和一个背包。物品i的重量是W_i,其价值位V_i ，背包的容量为C。问应该如何选择装入背包的物品，使得转入背包的物品的总价值为最大？？

在选择物品的时候，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能讲物品i装入多次，也不能只装入物品的一部分。因此，该问题被称为0-1背包问题。 

 

问题分析：令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:

(1)   V(i,0)=V(0,j)=0 

(2)   V(i,j)=V(i-1,j)  j<w_i  

       V(i,j)=max{V(i-1,j) ,V(i-1,j-w_i)+v_i) } j>w_i

(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-w_i 的背包中的价值加上第i个物品的价值v_i; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

package DP;import java.util.Random;public class KnapSack {static int max(int a, int b) {if (a >= b)return a;elsereturn b;}public static int KnapSackCal(int V[][], int n, int w[], int v[], int x[],int C) {System.out.println(n+" "+C);int i, j;for (i = 0; i < n; i++)for (j = 0; j < C; j++)V[i][j] = 0;for (i = 1; i <= n; i++)for (j = 1; j <= C; j++) {if (j < w[i])V[i][j] = V[i - 1][j];else{V[i][j] = max(V[i - 1][j], V[i - 1][j - w[i]] + v[i]);}}/* * for (i = 1; i <= n; i++) { for (j = 1; j <= C; j++) * System.out.print(V[i][j] + " "); System.out.println(""); } */j = C;for (i = n; i >= 1; i--) {if (V[i][j] > V[i - 1][j]) {x[i] = 1;j = j - w[i];} elsex[i] = 0;}System.out.println("选中的物品是:");for (i = 1; i <= n; i++)System.out.print(x[i] + " ");System.out.println();return V[n][C];}public static void main(String[] args) {long startTime = System.currentTimeMillis();// 前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值int V[][] = new int[41][1001];int s;// 获得的最大价值int w[] = new int[41];// 物品的重量int v[] = new int[41];// 物品的价值int x[] = new int[41];// 物品的选取状态int n, i;int C ;// 背包最大容量 Scanner in = new Scanner(System.in); System.out.println("请输入背包的最大容量:"); C = in.nextInt();   System.out.println("输入物品数:"); n = in.nextInt();    System.out.println("请分别输入物品的重量:"); for (i = 1; i <= n; i++) w[i] =  in.nextInt();    System.out.println("请分别输入物品的价值:"); for (i = 1; i <= n; i++) v[i] =  in.nextInt(); in.close(); s = KnapSack.KnapSackCal(V, n, w, v, x, C);System.out.println("最大物品价值为:");System.out.println(s);System.out.println();}long endTime = System.currentTimeMillis();System.out.println("共用时/（毫秒）："+ (endTime-startTime));}}

 

 

动态规划之01背包问题（最易理解的讲解）

01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。

01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中，可以取得的最大价值。

Pi表示第i件物品的价值。

决策：为了背包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入背包中吗 ？

题目描述：

有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

 

nameweightvalue12345678910a26066991212151515b23033669991011c65000666661011d54000666661010e460006666666

 

只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。

首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的背包，那么这个背包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，背包装不了。

对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个背包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的背包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

 f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包（等于当前背包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个背包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的背包