最大公约数算法解析
来源:互联网 发布:axure rp8 mac 注册码 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 06:40
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给定两个正整数,求其最大公约数,相信这是每一个写代码的同学绝壁遇见过的练习,当然解法也非常多,下面先给出一个没有经过任何算法处理的程序:
public static int getResult(int a,int b){
1
int
max = (a>b)?a:b;
2
int
result=
0
;
3
for
(
int
i =
1
;i < max;i++){
4
if
(a%i ==
0
&& b%i ==
0
){
5
result=i;
6
}
7
}
8
return
result;
9
}
这样当然是可以解出来的,但是要循环遍历其中较大的正整数,如果两个数量都非常大的话,效率是非常低的,每当遇到效率低下的程序,我们必然会想到优化,算法优化总是很靠谱的一种方法。下面就列出几种添加算法的方法来解决最大公约数的问题。
解法一:
辗转相除法,假设求正整数 num1,num2 的最大公约数,假设f(x,y)为两者的最大公约数,取 k = x / y (取整),b = x % y (取余);则 x = k y + b ;那么能同时被x ,y整除的数必然也同时能被 b , y 整除,能被b , y整除的数也能同时被x,y整除,也就是说,x,y的最大公约数就是b,y的最大公约数,则有 f (x , y) = f(y , x%y) (x>=y>0),这样递归运算,比如
f(42,30) = f(30,12) = f(12 , 6) = f(6,0) = 6; 这样将运算次数直接降低了很多。下面附上代码:
private static int gcd(int x, int y) {
1
int
result = ((y ==
0
) ? x : gcd(y, x % y));
2
return
result;
3
}
解法二:
解法一虽然很好的解决了求公约数的问题,但是算法中包含有除法,在计算机中除法的开销是很大的,能不能不用除法呢。可以这样考虑,一个数能被x , y整出,必然也能被x-y,y整出,也就是一个数被x,y整出是这个数被x-y,y整出的充分必要条件。那么f(x, y) = f(x-y , y);这样计算的话,就可以把大整数之间的取模运算转换为大整数之间的减法运算。由于f(x,y)= f(y,x),为了避免求出一个正数和一个负数的最大公约数,要灵活运用f(x,y)= f(y,x),迭代进行,直到一方为0;比如:
f(42,30) = f(30,12) = f(18 , 12)= f(12 , 6) = f(6,6)= f(6 , 0) = 6;这样运算跟上面的方法比起来,优化了大数据取模的问题,但是运算次数会增大,代码如下:
private static int gcd(int x, int y) {
1
if
(y ==
0
) {
2
return
x;
3
}
4
if
(x < y) {
5
return
gcd(y, x);
6
}
else
{
7
return
gcd(x - y, y);
8
}
9
}
解法三:
解法一的不足之处在于复杂的大数据除法运算,解法二虽然干掉了大数据的除法运算,但是增加了操作次数。两种方法都不是非常的完美,那么我们就用第三种方法来解决,第三种方法使用的二进制方案,估计很多同学看到01100100就要放弃了,千万不要,其实这东西不难。
对于x,y来说,有x=k * x1,y = k * y1 ,则f(x ,y) = f(k * x1,k * y1) = k * f(x1 ,y1);此为一。
另外,如果 x = p * x1,且p为素数,y%p != 0,则f(x ,y)= f(p * x1, y) = f(x1 ,y);此为二。
由一和二两个公式,我们可以计算公约数了:
设p=2:
假设x,y都是偶数:f(x,y)= 2f(x»1,y»1);
假设x是偶数,y是奇数:f(x,y) = f(x»1,y);
假设x是奇数,y是偶数:f(x,y) = f(x,y»1);
假设x,y都是奇数:f(x,y) = f(y,x-y);—这是根据解法二中推出来的
下面还以42 和 30 为例:
f(42,30) = f(101010,11110) = 2f(10101,1111) = 2f(1111,110)=2 * f(1111,11) = 2 f (1100,11) = 2f(110,11)=2 f(11,11) = 2 f(0,11) = 2 3=6
括号中均为二进制表达,这样最坏的情况下,复杂度也就是log 2(max(x,y));—-2是底数,尼玛,这格式弄不出来。
下面附上代码:
private static int gcd(int x, int y) {
01
if
(x < y) {
02
return
gcd(y, x);
03
}
04
if
(y ==
0
) {
05
return
x;
06
}
07
if
(isEven(x)) {
08
if
(isEven(y)) {
09
// x,y都为偶数,f(x,y)=2*f(x/2,y/2)
10
return
gcd(x >>
1
, y >>
1
) <<
1
;
11
}
else
{
12
// x偶数,y奇数,f(x,y)=f(x/2,y)
13
return
gcd(x >>
1
, y);
14
}
15
}
else
{
16
if
(isEven(y)) {
17
// x奇数,y偶数,f(x,y)=2*f(x,y/2)
18
return
gcd(x, y >>
1
);
19
}
else
{
20
// x,y都为奇数,f(x,y)=f(x-y,y)
21
return
gcd(x - y, y);
22
}
23
}
24
}
25
26
public
static
boolean
isEven(
int
x) {
27
return
(x %
2
==
0
) ?
true
:
false
;
28
}
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