灵感编程：最大公约数算法解析

给定两个正整数，求其最大公约数，相信这是每一个写代码的同学绝壁遇见过的练习，当然解法也非常多，下面先给出一个没有经过任何算法处理的程序：

public static int getResult(int a,int b){  
int max = (a>b)?a:b;  
    int result=0;  
    for(int i = 1;i < max;i++){  
        if(a%i == 0 && b%i == 0){  
            result=i;  
        }  
    }  
    return result;  
}  

这样当然是可以解出来的，但是要循环遍历其中较大的正整数，如果两个数量都非常大的话，效率是非常低的，每当遇到效率低下的程序，我们必然会想到优化，算法优化总是很靠谱的一种方法。下面就列出几种添加算法的方法来解决最大公约数的问题。

解法一：

辗转相除法，假设求正整数 num1,num2 的最大公约数，假设f(x,y)为两者的最大公约数,取 k = x / y (取整)，b = x % y (取余)；则 x = k y + b ;那么能同时被x ，y整除的数必然也同时能被 b , y 整除，能被b ， y整除的数也能同时被x，y整除，也就是说，x，y的最大公约数就是b，y的最大公约数，则有 f (x , y) = f(y , x%y) (x>=y>0),这样递归运算，比如

f(42,30) = f(30,12) = f(12 , 6) = f(6,0) = 6; 这样将运算次数直接降低了很多。下面附上代码：

int result = ((y == 0) ? x : gcd(y, x % y));  
    return result;  
} 

解法二：

解法一虽然很好的解决了求公约数的问题，但是算法中包含有除法，在计算机中除法的开销是很大的，能不能不用除法呢。可以这样考虑，一个数能被x , y整出，必然也能被x-y，y整出，也就是一个数被x，y整出是这个数被x-y，y整出的充分必要条件。那么f(x, y) = f(x-y , y);这样计算的话，就可以把大整数之间的取模运算转换为大整数之间的减法运算。由于f（x，y）= f（y，x），为了避免求出一个正数和一个负数的最大公约数，要灵活运用f（x，y）= f（y，x）,迭代进行，直到一方为0；比如：

f(42,30) = f(30,12) = f(18 , 12)= f(12 , 6) = f(6,6)= f(6 , 0) = 6;这样运算跟上面的方法比起来，优化了大数据取模的问题，但是运算次数会增大，代码如下：

private static int gcd(int x, int y) {

if (y == 0) {  
        return x;  
    }  
    if (x < y) {  
        return gcd(y, x);  
    } else {  
        return gcd(x - y, y);  
    }  
} 

解法三：

解法一的不足之处在于复杂的大数据除法运算，解法二虽然干掉了大数据的除法运算，但是增加了操作次数。两种方法都不是非常的完美，那么我们就用第三种方法来解决，第三种方法使用的二进制方案，估计很多同学看到01100100就要放弃了，千万不要，其实这东西不难。

对于x，y来说，有x=k * x1,y = k * y1 ,则f(x ,y) = f(k * x1,k * y1) = k * f(x1 ,y1);此为一。

另外，如果 x = p * x1,且p为素数，y%p != 0,则f（x ，y）= f(p * x1, y) = f(x1 ,y);此为二。

由一和二两个公式，我们可以计算公约数了：

设p=2：

假设x，y都是偶数：f（x，y）= 2f(x»1,y»1);

假设x是偶数，y是奇数：f(x,y) = f(x»1,y);

假设x是奇数，y是偶数：f(x,y) = f(x,y»1);

假设x，y都是奇数：f(x,y) = f(y,x-y);—这是根据解法二中推出来的

下面还以42 和 30 为例：

f(42,30) = f(101010,11110) = 2f(10101,1111) = 2f(1111,110)=2 * f(1111,11) = 2 f (1100,11) = 2f(110,11)=2 f(11,11) = 2 f(0,11) = 2 3=6

括号中均为二进制表达，这样最坏的情况下，复杂度也就是log 2(max(x,y));—-2是底数，尼玛，这格式弄不出来。

下面附上代码：

if (x < y) {  
        return gcd(y, x);  
    }  
    if (y == 0) {  
        return x;  
    }  
    if (isEven(x)) {  
        if (isEven(y)) {  
            // x，y都为偶数，f(x,y)=2*f(x/2,y/2)  
            return gcd(x >> 1, y >> 1) << 1;  
        } else {  
            // x偶数,y奇数，f(x,y)=f(x/2,y)  
            return gcd(x >> 1, y);  
        }  
    } else {  
        if (isEven(y)) {  
            // x奇数，y偶数，f(x,y)=2*f(x,y/2)  
            return gcd(x, y >> 1);  
        } else {  
            // x，y都为奇数，f(x,y)=f(x-y,y)  
            return gcd(x - y, y);  
        }  
    }  
}  
 
public static boolean isEven(int x) {  
    return (x % 2 == 0) ? true : false;  
} 

以前根本没有想过这么些玩意，第一次看算法，顿时感觉高大上啊，不过的确，看到这样解决以前常用来解决的公约数问题，的确眼前一亮啊