汉诺塔的非递归算法

Update on 2014-10-03：

所有递归转非递归都可以依赖于栈模拟，而依赖于栈关键问题在于弄清是先序、中序还是后序遍历的树，而这里显然是一个汉诺塔显然是一个中序遍历的结果，所以非递归的代码如下所示：

先给一个错误的代码，错误代码错误的关键在于遍历完左子树没有明确应该做什么事，千万不要以为转非递归就是调用的时候压栈：

#include <iostream>#include <math.h>#include <stack>using namespace std;void Hanoi(char src, char des, char via, int n){  if(n == 1)  {    cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;    return;  }  Hanoi(src, via, des, n - 1);  cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;  Hanoi(via, des, src, n - 1);}struct Node {  char src, des, via;int n;Node(char s, char d, char v, int n0 = 0):src(s), des(d), via(v), n(n0) {}};void Hanoi2(char src, char des, char via, int n){  stack<Node> sta;while (n > 0 || !sta.empty()) {while (n > 0) {  sta.push(Node(src, des, via, n--));swap(des, via);}if (!sta.empty()) {  Node tmp = sta.top();sta.pop();src = tmp.src, des = tmp.des, via = tmp.via, n = tmp.n;cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;if (n > 1)sta.push(Node(via, des, src, --n));elsen = 0;}}}int main(){  int n;  cout<<"recusive:"<< endl;  Hanoi('A','C','B', 3);  cout << endl;  cout<<"normal:"<<endl;  Hanoi2('A','C','B', 3);  return 0;}

正确的代码：

#include <iostream>#include <math.h>#include <stack>using namespace std;void Hanoi(char src, char des, char via, int n){  if(n == 1)  {    cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;    return;  }  Hanoi(src, via, des, n - 1);  cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;  Hanoi(via, des, src, n - 1);}struct Node {  char src, des, via;int n;Node(char s, char d, char v, int n0 = 0):src(s), des(d), via(v), n(n0) {}};void Hanoi2(char src, char des, char via, int n){  stack<Node> sta;while (n > 0 || !sta.empty()) {while (n > 0) {  sta.push(Node(src, des, via, n--));swap(des, via);}if (!sta.empty()) {  Node tmp = sta.top();sta.pop();src = tmp.src, des = tmp.des, via = tmp.via, n = tmp.n;cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;swap(src,via), --n;}}}int main(){  int n;  cout<<"recusive:"<< endl;  Hanoi('A','C','B', 4);  cout << endl;  cout<<"normal:"<<endl;  Hanoi2('A','C','B', 4);  return 0;}

以下是转自网上的递推的算法：

转自： http://ahauhs.blog.163.com/blog/static/298541892008819426616/

汉诺塔问题介绍：

在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片，一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必在大片上面。当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一概针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，梵塔、庙宇和众生都将同归于尽。

 

递归算法:

定义 void Hanoi(char src, char des, char via, int n)

表示把n个盘子从src上借助via移动到des上。

显然有

     void Hanoi(char src, char des, char via, int n)

      {

          Hanoi(src, via, des, n - 1);

          Move(src, des, n); //把第n个盘子直接从src移动到des

          Hanoi(via,des, src, n - 1);

      }

 

根据递归算法，设f(n)为n个盘子要移动的次数。

那么显然 f(n + 1) = 2*f(n) + 1  ->  [f(n + 1) + 1] = 2*[f(n) + 1]

f(1) = 1,-> f(n) + 1 = (1 + 1)^n -> f(n) = 2^n - 1。

f(64)= 2^64-1=18446744073709551615 　　

假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一年大约有 31536926 秒，计算表明移完这些金片需要5800多亿年，比地球寿命还要长，事实上，世界、梵塔、

庙宇和众生都已经灰飞烟灭。

 

非递归算法：

定义从小到大的盘子序号分别为1，2，……n。

可以用一个1到2^n - 1的2进制序列可以模拟出n个盘子的汉诺塔过程中被移动的盘子的序号序列。

即给定一个n，我们通过0到2^n - 1序列可以判断出任意一步应该移动那个盘子。

判断方法：第m步移动的盘子序号是m用二进制表示的最低位bit为1的位置。

 

证明： n = 1，显然成立。

假设n = k 成立。

n = k + 1时，对应序列1到2^(k+1) - 1，显然这个序列关于2^k左右对称。

假设我们要把k + 1个盘子从A移动C。

那么2^k可以对应着Move(k + 1, A, C)。 1 到 2^k - 1 根据假设可以

对应Hanoi(A, B, C, k)。至于2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1把最高位的1去掉对应序列变成1到2^k - 1，显然2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1和1到2^k - 1这两个序列中的对应元素的最低位bit为1的位置相同。因此2^k + 1 到 2^(k + 1) - 1可以对应Hanoi(B, C，A，k)。

所以对n = k + 1也成立。

 

下面讨论第m步应该移动对应的盘子从哪到哪？

定义顺序为 A->B->C->A, 逆序为C->B->A->C。

 

性质对n个盘子的汉诺塔,任意一个盘子k(k <= n)k在整个汉诺塔的移动过程中要么一直顺序的，要么一直逆序的。而且如果k在n个盘子移动过程的顺序和k - 1(如果k > 1)以及k + 1(如果k < n)的顺序是反序。

比如：n = 3

1 A->C

2 A->B

1 C->B

3 A->C

1 B->A

2 B->C

1 A->C

其中1的轨迹A->C->B->A>C逆序，2的轨迹A->B->C顺序，3的轨迹A->C逆序

     

证明：假设n <= k成立

对于n = k + 1 根据递归算法

Hanoi(A，C，B，k + 1) = Hanoi(A, B, C, k) + Move(A, C, k + 1) + Hanoi(B, C，A，k);

整个过程中盘子k + 1只移动一次A->C为逆序对应着2^k。

对于任意盘子m < k + 1,

m盘子的移动由两部分组成一部分是前半部分Hanoi(A, B, C, k)以及后半部分的Hanoi(B, C，A，k)组成。显然有如果m在Hanoi(A, C, B, k)轨迹顺序的话，则m在Hanoi(A, B, C, k)以及Hanoi(B, C，A，k)都是逆序。反之亦然。这两部分衔接起来就会证明m在Hanoi(A，C，B，k)和Hanoi(A，C，B，k + 1)中是反序的。

同时有Hanoi塔中最大的盘子永远是逆序且只移动1步，A->C。

这样的话：

m = k + 1，在Hanoi(A，C，B，k + 1)中是逆序。

m = k，由于在Hanoi(A，C，B，k)中是逆序的，所以Hanoi(A，C，B，k + 1)中是顺序的。

m = k - 1，由于在Hanoi(A，C，B，k - 1)是逆序的，所以Hanoi(A，C，B，k)是顺序的，所以Hanoi(A，C，B，k + 1)是逆序的。

依次下去……

结论得证。

总结：在n个汉诺中n， n - 2, n - 4……是逆序移动，n - 1， n - 3，n - 5……是顺序移动。

 

有了以上结论，非递归的程序就很好写了。写了个递归和非递归比较程序：

#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;void Hanoi(char src, char des, char via, int n){  if(n == 1)  {    cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;    return;  }  Hanoi(src, via, des, n - 1);  cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;  Hanoi(via, des, src, n - 1);}int main(){  int n;  cin >> n;  cout<<"recusive:"<< endl;  Hanoi('A','C','B', n);  cout << endl;  cout<<"normal:"<<endl;  char order[2][256], pos[64];  order[0]['A'] = 'B';  order[0]['B'] = 'C';  order[0]['C'] = 'A';  order[1]['A'] = 'C';  order[1]['B'] = 'A';  order[1]['C'] = 'B';  //0是顺序 1是逆序  int index[64];  //确定轨迹的顺序还是逆序  int i, j, m;  for (i = n; i > 0; --i)    index[i] = (n - i + 1)%2;  memset(pos, 'A', sizeof(pos));  for(i = 1; i < (1 << n); i ++){    for (m = 1, j = i; (j&1) == 0; j = j>>1, ++m);          cout << m <<" : "<< pos[m]  <<" --> " << order[index[m]][pos[m]] << endl;            pos[m] = order[index[m]][pos[m]];  }  return 0;}

My friend version:

#include <iostream>#include <stack>using namespace std;class Solution { public:  unsigned int upperlimit;  void dfs(int& count, unsigned int row, unsigned int ld, unsigned int rd) {    if (row == upperlimit)      ++count;    unsigned int pos = (row | ld | rd) & upperlimit; // the bit 1 simplify the position can't place the queue any more    unsigned int p = (~pos) & upperlimit,digit = 0;    while (p) {      digit = p - (p & (p - 1)); // Find the rightest 1      //digit = p&(~p + 1);      dfs(count, row + digit, (ld + digit) >> 1, (rd + digit) << 1);      p -= digit;    }  }  int totalNQueens(int n) {    upperlimit = 0;    int count = 0;    for (int i = 0; i < n; ++i)      upperlimit |= (1<<i);    dfs(count, 0, 0, 0);    return count;  }};struct node {int val;int target;int mark;bool in;int place;node(int n, int t, int m, int p): val(n), target(t), mark(m), place(p), in(true) {}};void Hanoi(char src, char des, char via, int n)  {    if(n == 1) {      cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;      return;    }    Hanoi(src, via, des, n - 1);    cout << n <<" : "<< src <<" --> " <<des << endl;    Hanoi(via, des, src, n - 1);  }class HanoiNode {public:  char src, des, via;   int n, mark, in;  HanoiNode(char src, char des, char via, int n, int mark)    :src(src),des(des),via(via),n(n),mark(mark),in(1){}};void HanoiIterate(char src, char des, char via, int n) {  stack<HanoiNode> s;  s.push(HanoiNode(src, des, via, n, 1));  while (!s.empty()) {    HanoiNode top = s.top();    s.pop();    if (top.n == 1) {      cout << top.n <<" : "<< top.src <<" --> " <<top.des << endl;        if (top.mark == 0) {        cout << top.n + 1 <<" : "<< top.src <<" --> " <<top.via << endl;          cout << top.n <<" : "<< top.des <<" --> " <<top.via << endl;      }    }    else {      if (top.in) {        top.in = false;        s.push(top);        s.push(HanoiNode(top.src, top.via, top.des, top.n - 1, 0));      }      else {        if (top.mark == 0) {          cout << top.n + 1 <<" : "<< top.src <<" --> " <<top.via << endl;            s.push(HanoiNode(top.des, top.via, top.src, top.n, 1));        }      }    }  }}void Hanoi2(int n, int target, int place) {  if (n == 1) {    cout << "place plate " << 1 << " to " << target << endl;    return;        }  Hanoi2(n - 1, 6 - target - place, place);  cout << "place plate " << n << " to " << target << endl;  Hanoi2(n - 1, target, 6 - target - place);}int main() {  Solution ss;  int res = ss.totalNQueens(3);  //Hanoi2(3,3,1);  Hanoi('A', 'C', 'B', 3);  cout << "------------------------" <<endl;  HanoiIterate('A', 'C', 'B', 3);int N;cin >> N;stack<node> s;s.push(node(N, 3, 1, 1));while(!s.empty()) {node top = s.top();s.pop();if(top.val == 1) {//top.val = 1,执行第一个递归函数，只有一句，然后执行第二个递归函数cout << "place plate " << 1 << " to " << top.target << endl;if(top.mark == 0) {cout << "place plate " << (top.val + 1) << " to " << (6 - top.place - top.target) << endl;cout << "place plate " << 1 << " to " << (6 - top.place - top.target) << endl;}}else {      if(top.in) {top.in = false;s.push(top);s.push(node(top.val - 1, 6 - top.place - top.target, 0, top.place));}else {//top.in = false表示递归函数执行完if(top.mark == 0) {//mark = 0表示执行完Hanoi2(n - 1, 6 - target - place, place); mark = 1表示执行完Hanoi2(n - 1, target, 6 - target - place);cout << "place plate " << (top.val + 1) << " to " << (6 - top.place - top.target) << endl;s.push(node(top.val, 6 - top.place - top.target, 1, top.target));}}}}  return 0;}