poj 1601 青蛙的约会 扩展欧几里得定理应用

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江

本题主要是扩展欧几里得定理的应用。由题意我们知道两只青蛙相遇的条件为 （x+sm)-(y+sn)=kL 其中k ，s为整数。我们可以转换为s(m-n)+kl =y-x 的形式，即ax+by=c由扩展欧几里得定理我们知道当 c可以整除gcd(a,b)时,x，y才有整数解。所以可以先判断c%gcd(a,b)的情况，在有解的情况下，我们可以两边先除以gcd(a,b),得到如下形式ax+by=n',利用扩展欧几里得定理求得ax+by=1时候的一个特解，x0，y0，所以最终x的解为x=n‘x0 - bt,t为整数。为了保证x大于0，我们可以令x等于0，利用程序的整数先求出t的值，实际上x可能取不到0，所以根据x此时是否为非负值的情况判断是否加上b的值，如果是负值，则加上b的值，否则x就是题目要求的值。

#include <cstdio>int gcd(int a, int b){    if(b == 0)        return a;    else         return gcd(b, a % b);}void eulid(__int64 a, __int64 b, __int64 &x, __int64 &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;    }    else    {        eulid(b, a % b, x, y);        int t = x;        x = y;        y = t - a / b * y;    }}int main(){    __int64 x, y, m, n, l;    scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d", &x, &y, &m, &n, &l);    __int64 a, b, c, r;    a = m - n;    b = l;    c = y - x;    if(a < 0)    {        a = -a;        c = -c;    }    r = gcd(a, b);    if(c % r || m == n)    {        printf("Impossible\n");    }    else    {       a /= r;       b /= r;       c /= r;       eulid(a, b, x, y);       __int64 t = c * x / b;       x = c * x - b * t;       if(x < 0)           x = x + b;       printf("%I64d\n", x);    }return 0;}