重新开始战斗11-编程之美-精确表达浮点数

问题描述：

给定一个有限小数或无限循环小数，能否以分母最小的分数形式来返回这个小数。

问题分析：

在进行分析之前，先谈谈对这个题的思考方式。如何表示一个有限小数或无限循环小数，首先，无限循环小数的表达一定比有限小数更加复杂，所以应该从有限小数入手。其次，用分母最小的分数形式表示，如果没有这个限制条件，那么问题的求解也应该会变得简单。因此在解决这个问题的时候，应该从简到难。

对于有限小数：X=0.a₁a₂a₃..a_n，在不考虑分母最小的情况下，其分数的表示很简单！即，如果要用分母最小的形式表示，则求10ⁿ和a₁a₂a₃..a_n最大公约数问题。

对于无限循环小数：X=0.a₁a₂a₃..a_n(b₁b₂b₃..b_m)，其中括号内为循环部分，关于无限循环小数存在非循环节与循环节的问题，如果乘以10ⁿ，则可以将问题转为只含循环节的无限循环小数的问题上，这样又可以进一步简化问题。

那么对于X=0.a₁a₂a₃..a_n( b₁b₂b₃..b_m)，10ⁿX=a₁a₂a₃..a_n +0.( b₁b₂b₃..b_m)；对于Y=0.( b₁b₂b₃..a_m)，

10^mY = 0.( b₁b₂b₃..b_m)+b₁b₂b₃..b_m，进而，10^mY-Y=b₁b₂b₃..b_m，所以Y= b₁b₂b₃..b_m/(10^m-1)。带入得：

X=( a₁a₂a₃..a_n+Y)/10ⁿ

 =( a₁a₂a₃..a_n+ b₁b₂b₃..b_m/(10^m-1))/10ⁿ

 =( a₁a₂a₃..a_n*(10^m-1)+(b₁b₂b₃..b_m))/((10^m-1)*10ⁿ)

得到问题的解，然后退化为最大公约数问题。