全排列剖析：求n个数第k个排序----康托展开

康托展开的公式：（不用记，看形势就行，下面会有例子）

X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!

ai为整数，并且0<=ai<i(1<=i<=n)

适用范围：没有重复元素的全排列

第一类题：N个数的第k个排序，例子，1，2，3，4共有4！种排列，1234,1243,1324等等。按顺序应该是

1234

1243

1324

1342

1423

1432等等

可以通过STL中next_permutation（begin, end）;来算下一个全排列，理论上你要算n个数的第k个排列只要调用k-1次next_permutation()就行，但是一般来说肯定会超时的，因为next_permutation的时间复杂度是O(n)（如果自己写出来next_permutation时间复杂度比n大就要注意了，其中一个容易疏忽的地方是最后排序可以用reverse而不是sort）。所以如果用这个的话时间复杂度是O(N^2)。

而用康托展开只要O(n)就行，下面来说说具体怎么做:

题目：找出第16个n = 5的序列（12345）

首先第十六个也就是要前面有15个数，要调用15次next_permutation函数。

根据第一行的那个全排列公式，15 / 4! = 0 …15  =》  有0个数比他小的数是1，所以第一位是1

拿走刚才的余数15，用15 / 3! = 2 …3   =>  剩下的数里有两个数比他小的是4（1已经没了），所以第二位是4

拿走余数3， 用 3 / 2! = 1 …1   =》  剩下的数里有一个数比他小的是3，所以第三位是3

拿走余数1， 用 1/  1! = 1 …0    =>  剩下的数里有一个数比他小的是 5（只剩2和5了），所以第四位是5

所以排列是 1,4,3,5,2

第二类题：已知是n = 5，求14352是它的第几个序列？（同一道题）

用刚才的那道题的反向思维：

第一位是1，有0个数小于1，即0* 4！

第二位是4，有2个数小于4，即2* 3！

第三位是3，有1个数小于3，即1* 2！

第四位是5，有1个数小于5，即1* 1！

第五位是2，不过不用算，因为肯定是0

所以14352是 n = 5的第 0 + 12 + 2 + 1 + 0 = 15    + 1（求的是第几个，所以要加一） = 16

第16个，跟刚才那道题一样，证明对了