FastICA算法

        目前比较成熟的线性盲源分离算法有很多，FastICA是其中之一。

1  ICA算法流程

(1) 归一化

        首先将观测数据x

归一化，即减去其均值m=E{x}使其具有零均值。这意味着s也是零均值的。

        归一化预处理能简化ICA算法，在估计出归一后的混合矩阵A后，将计算出的分离信号s再加上s的均值A^-1m。

(2) 白化

        在归一化之后，线性变换观测向量x使其各成分不相关且有单位方差，即白化为新向量x'，其协方差矩阵等于单位矩阵：E{x'x'^T}=I。

        一种常用的白化方法对数据协方差进行特征值分解(Eigen-ValueDecomposition，EVD)，即E{xx^T}=EDE^T，其中E是E{xx^T}特征向量的正交矩阵，D是其特征值的对角矩阵，D=diag(d₁，…，d_n)。因而白化操作可写为

                        x'=ED^-1/2E^Tx

        其中D^-1/2=diag(d₁^-1/2，…，d_n^-1/2)。同理，白化混合矩阵得A'，则A‘是正交的。

        白化操作能减少待估计的参数。估计矩阵A要估计n²个参数，而估计正交矩阵A'只需估计n(n-1)/2个参数，这大大减小了ICA算法的计算复杂度。

(3) FastICA算法

        在讨论了的ICA估计几种目标函数中，实际应用中需要一种最大化目标函数的算法，一种常用的算法就是FastICA算法。这里假设数据已经经过归一化和白化，z'和A’和分别用x和A表示。

        首先讨论算法的一次处理过程。FastICA算法基于定点迭代结构的算法，目的是使w^Tx具有最大非高斯性，其中w是W的一行。采用式J(y) ∝ [E{G(y)} – E{G(v)}]²为目标函数，定义g为非二次函数G的导数。则式G₁(u) = 1/a₁logcosh(a₁u) ，G₂(u) = - exp(-u²/2)中函数的导数为

                        g₁(u) = tanh(a₁u)， g₂(u) =u exp(-u²/2) 

其中1≦a₁≦2为一个合适的常量，通常选a₁=1。

        可通过E{(w^Tx)}的最适条件获得w^Tx的负熵近似值。根据库恩 - 塔克条件，在E{(w^Tx)²}=||w||²=1的约束条件下，E{G(w^Tx)}的最适条件可通过下式获得：
                        E{xg(w^Tx)}-βw=0

用牛顿方法解此方程。定义方程左边为F，得到它的雅克比矩阵JF(w)为

                        JF(w) = E{xx^Tg’(w^Tx)}- βI

上式右边第一项可简化为E{xx^Tg’(w^Tx)}≈E{xx^T}E{g’(w^Tx)}= E{g’(w^Tx)}I，雅克比矩阵变成对角的、可逆的。因此获得近似牛顿迭代：
                        w⁺ =w – [E{xg(w^Tx)}- βw]/[ E{g’(w^Tx)}- β]

两边同乘β-E{g’(w^Tx)}，进一步简化为w⁺ =E{xg(w^Tx)}– E{g’(w^Tx)}w。

        综上，一次FastICA算法的基本形式为：

        1)初始化(如随机)向量w；

        2)令w⁺ = E{xg(w^Tx)} –  E{g’(w^Tx)}w；

        3)令w= w⁺/||w⁺||；

        4)若未收敛，则回到2)。

其中收敛意味着前后两次向量w在同一方向上，即它们的点积为1。

        一次FastICA算法能估计出一个独立成分，为了估计出若干个独立成分，需要进行若干次FastICA算法得到向量w₁，…，w_n。为了防止这些向量收敛在同一个最大值，需要对每次迭代后的输出w₁^Tx，…，w_n^Tx去相关。

        一种简单的方法是Gram-Schmidt-like去相关，即一个接一个地估计独立成分。在估计出p个独立成分w₁，…，w_p之后，当估计w_p+1时先减去先前预测的p个向量的投影w_p+1^Tw_jw_j，j=1，…，p，然后标准化w_p+1，即

        1)

        2)

        有时希望对称去相关，这样所有独立成分都是平等的，这可通过矩阵平方根完成，即

                        

其中W=[w₁，…，w_n]^T，逆平方根(WW^T)^-1/2通过特征值分解获得，(WW^T)^-1/2=(FDF^T)^-1/2=FD^-1/2F^T。一个很简单的方法是通过如下迭代算法

        1)

        2) 令W= 3/2W – 1/2WW^TW

        3) 重复2)，直至收敛。

2 算法仿真效果

(1)对模拟信号分离

        首先用matlab产生4个相互独立的语音信号，分别为正弦曲线、不规则曲线、锯齿形曲线和脉冲噪声，波形如图1所示。然后用一个随机矩阵将它们混合，产生4个混合信号，如图2所示

                

                                              图1   4个独立信号成分

                

                                               图2    4个混合信号

        运用FastICA算法对混合信号进行独立成分分析，分离结果如图3所示。

                

                                                             图3 独立成分分析结果

        比较图3和图1可以看出，FastICA算法成功分离出了4种独立信号，效果明显。唯一不同之处在于分离顺序是不确定的，这是线性混合的必然结果。

(2) 声音信号分离

        语音信号来自赫尔辛基工业大学官网，分别为警笛声、乐器声、男语音和女语音，波形如图4所示。然后对其进行线性混合，得到4个混合声音信号，波形如图5所示。

                

                                                               图4    4个声音信号

               

                                                           图5    4个混合信号

        运用FastICA算法对混合语音信号进行分离，分离结果如图6所示。

                  

                                                           图6  盲源分离语音信号

        比较图6和图4可以看出，FastICA算法成功对4种声音信号进行了分离，而且对警笛声和乐器声的分离效果很好，分离出的人声信号依然存在一些干扰，但是可以很明显分辨出人声。