二分图最大匹配总结（匈牙利算法）

1、二分图

   二分图的顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集。

   区别二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集。同一个点集的各点之间没有边。

   无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

2、匹配

   在图论中，一个图是一个匹配（或称独立边集）是指这个图之中，任意两条边都没有公共的顶点。这时每个顶点都至多连出一条边，而每一条边都将一对顶点相匹配。

   设M是图G=(V,E）的一个匹配，vi∈V。若vi与M中的边相关联，则称vi是M饱和点，否则称vi为M非饱和点。

如果G中每个顶点都是M饱和点，则称M为G的完美匹配。

    一条交替路径(AlternatingPath)是指这样一条路径，其中的每一条边交替地属于或不属于匹配M。比如说，第一、三、五条边属于M，而第二、四、六条不属于M，等等。

    一条增广路径(AugmentingPath)是指从M 中没有用到的顶点开始，并从M中没有用到的顶点结束的交替路径。

   两个集合S1与S2的“异或”操作S1⊕S2是指集合S1⊕S2=（S1∩S2)\（S1∪S2)容易看出，设M是G的匹配，P是G中的M增广路径、则M⊕P也是G的匹配，而且可以证明，G中匹配M是最大匹配当且仅当G中没有M增广路径。

3、匈牙利算法

    由增广路的定义可以推出下述三个结论：

　　1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

　　2－将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。

　　3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

　　算法轮廓：

　　(1)置M为空

　　(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

　　(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

4、代码模板

#include<vector>using namespace std;const int MAXC = 300;const int T = 7*12;int C , linker[T];bool used[T];vector<int> g[MAXC];bool dfs(int c){    for( int i = 0 ; i < g[c].size() ; i++ )    {        int t = g[c][i];        if( !used[t] )        {            used[t] = true;            if( linker[t] == -1 || dfs(linker[t]) )            {                linker[t] = c;                return true;            }        }    }    return false;}int Hungary(){    int res = 0;    for( int i = 0 ; i < T ; i++ )        linker[i] = -1;    for( int i = 0 ; i < C ; i++ )    {        for( int j = 0 ; j < T ; j++ )            used[j] = false;        if( dfs(i) )            res++;    }    return res;}

这是从我poj2239的代码里截出来的，c和t的数据含义不用太在意。
注意，如果手头并不是二分图，却要计算最大匹配数，就需要对现有的图进行拆点。就是将现有所有的点备份一份成为二分图的第二个点集，将现有图中的边全部转换为两个点集之间的边，如a->b就要转换成a->b'，而如果现有图为无向图，我们就需要建立双向图来模拟无向图，如a->b就要转换成a->b'，和b'->a两条边。最后匈牙利算法得出的最大匹配数则需要除二才是想要的答案。

5、二分图最大匹配数的相关使用

首先来熟悉几个概念：

顶点覆盖：

在顶点集合中，选取一部分顶点，这些顶点能够把所有的边都覆盖了。这些点就是顶点覆盖集

最小顶点覆盖：

在所有的顶点覆盖集中，顶点数最小的那个叫最小顶点集合。

独立集：

在所有的顶点中选取一些顶点，这些顶点两两之间没有连线，这些点就叫独立集

最大独立集：

在左右的独立集中，顶点数最多的那个集合

路径覆盖：

在图中找一些路径，这些路径覆盖图中所有的顶点，每个顶点都只与一条路径相关联。

最小路径覆盖：

在所有的路径覆盖中，路径个数最小的就是最小路径覆盖了。

接下来是公式：
①二分图的最大匹配数就是其最小点覆盖数
②二分图的最大独立集数=顶点数-最大匹配数
③二分图的最小路径覆盖数=顶点数-最大匹配数
其实都不难理解，可以理解后再用不需要死记硬背。