CRC 生成多项式

是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。

在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。

应满足以下条件：

a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。

b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。

c、不同位发生错误时，应该使余数不同。

d、对余数继续做模2除，应使余数循环。

将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：

N

K

码距d

G(x)多项式

G(x)

7

4

3

x³+x+1

1011

7

4

3

x³+x²+1

1101

7

3

4

x⁴+x³+x²+1

11101

7

3

4

x⁴+x²+x+1

10111

15

11

3

x⁴+x+1

10011

15

7

5

x⁸+x⁷+x⁶+x⁴+1

111010001

31

26

3

x⁵+x²+1

100101

31

21

5

x¹⁰+x⁹+x⁸+x⁶+x⁵+x³+1

11101101001

63

57

3

x⁶+x+1

1000011

63

51

5

x¹²+x¹⁰+x⁵+x⁴+x²+1

1010000110101

1041

1024

　

x¹⁶+x¹⁵+x²+1

11000000000000101

图9 常用的生成多项式

例如第一项可以写成:x³+x²+x+1  有幂次就为1没有幂次就为0首尾一定要是1   所以 1 0 1 1

 

一道计算题:

已知信息位为1100，生成多项式G(x) = x3+x+1，求CRC码。
M(x) = 1100 M(x)*x3 = 1100000 G(x) = 1011
M(x)*x3 / G(x) = 1110 + 010 /1011 R(x) = 010
CRC码为： M(x)*x 3+R(x)=1100000+010 =1100010
其原理是：CRC码一般在k位信息位之后拼接r位校验位生成。编码步骤如下：
（1）将待编码的k位信息表示成多项式 M(x)。
（2）将 M(x)左移 r 位，得到 M(x)*xr 。
（3）用r+1位的生成多项式G(x)去除M(x)*xr 得到余数R(x)。
（4）将M(x)*xr 与R(x)作模2加，得到CRC码。