浅谈生成函数和多项式

我们先来看这样一个生活问题：

你手头有1个1元，一个2元，一个3元（假币！！）和一个4元（这是哪个国家的题啊....），之后你会很好奇你能用这些钱组合成多少种数目。

很小学的问题，只要我们稍微那笔枚举一下就能知道，我们能得到0-10元之间所有的钱数。

现在，我们用函数去表示一下每个钱，1元就表示为1+x，2元表示为1+x^2，3元表示为1+x^3，4元表示为1+x^4，也就是说，我用x的指数表示我的钱数。

so....我们将这四个式子相乘

(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x3+x^4+x^7)
=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10  

可以看出来，x的指数由0到10全部都有，说明能凑出0-10元间所有的钱数，而前面的系数，就是你凑出该钱数的方案数。

这是为什么呢？

我们是用指数作为了钱数，而指数乘积是相加，所以，我3元的x^3和4元的x^4相乘也就是这两个钱凑在了一起x^7表示的7元，而多项式的系数则表示你凑成的x^n有多少项，也就是多少种方案，如果这个不好理解，我们举个简单的例子。

你有一块钱，还有1块钱（注意，这两个一块是不一样的哦~），你能凑成yi块的方案数，很明显是2吧，我们用函数方法做一下：

(1+x)(1+x)=1 + x + x + x^2 = 1 + 2x + x^2，x的系数是2。

这就是生成函数。

我们来看一道类似的问题

小明去买一个6元的切糕（糕富帅....）他手头有1元，2元，3元（肯定是国外的小明了），每个钱的张数无限（果然是糕富帅）....不过，小明为了低调些，所以他要正好拿6元钱出门，于是，糕富帅就好奇了，他有多少种方案呢？？？

结合上面的问题，我们知道1元，因为无数个，所以我们能得到2*1元，3*1元，4*1元，.....于是，1元所能表示的不再单单是1+x，而是1+x+x^2+x^3+x^4......，而2元只能往上表示4元，6元，8元.....所以是1+x^2+x^4+x^6.......同理，3元为1+x^3+x^6+x^9.....

之后我们将三个式子相乘

(1+x+x^2+x^3+x^4......)(1+x^2+x^4+x^6.......)(1+x^3+x^6+x^9.....)

=1+x+2x^2+3x^3+4x^4+5x^5+7x^6........

因为x^6的系数是7，所以我们知道方案数是7了，不过.....小明突然意识到他要买的是切糕而不是蛋糕，6元是不够的，要12元才行....

显然x^12的系数如果将式子展开着实让人累死.....于是，我们引入下面的话题，多项式。

首先，我们纵观上述的问题，发现一个很酱油的变量....x，你x存在的目的就是为了构造一个函数，好让指数能有地方放，而你x取值范围什么对生成函数没有半毛钱影响......

所以，我们不妨假设x是趋近于0的，为什么？因为x趋近于0有很多性质啊，你不知道？去重修高数吧。

因为x趋近于0，我们有如下性质

为什么我们要努力变成这样呢？因为我们有个伟人叫牛顿，他发明了叫二项式的东西，之后.....

这样，我们就能求解系数问题了。

让我们来个栗子：

求(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6....)^5中x^16的系数

(x^2+x^3+x^4+x^5+x^6....)^5

=[x^2(1+x+x^2+x^3.....)]^5

=x^10(1+x+x^2+x^3....)^5

=x^10/(1-x)^5

所以，我们要求(1-x)^-5中x^(16-10)=x^6的系数

根据（4）得出210.....

于是，我们再看个栗子....

(1+x+x^2+x^3....)(1+x^2+x^4+x^6.....)的x^15系数

(1+x+x^2+x^3....)(1+x^2+x^4+x^6.....)

=1/(1-x)(1-x^2)                                                      （2）

=[1/2(1-x)^2]+[1/4(1-x)]+[1/4(1+x)]                        （3）

推出（3）后，我们根据公式，可以导出每项的系数，之后因为是+相连，所以最后就是系数和了。

而最难的是(2)->(3)怎么做的呢？

如果你数学感觉非常好，那考试绝大部分能看出来的。

如果不好.....

请看这里：

（此处转自Matrix67的BLOG，连接：http://www.matrix67.com/blog/archives/120）

现在的任务是要把x/(1-x-x^2)还原成通项公式。这不是我们刚才的1/(1-x)^n的形式，我们要把它变成这种形式。我们发现，1-x-x^2=[1-(1-√5)x/2]*[1-(1+√5)x/2] （(1-√5)/2和(1+√5)/2是怎么算出来的？显然它们应该是x^2-x-1=0的两个根）。那么x/(1-x-x^2)一定能表示成?/[1-(1-√5)x/2]+?/[1-(1+√5)x/2]的形式（再次抱歉，输入数学公式很麻烦，将就看吧）。这是一定可以的，因为适当的?的取值可以让两个分式通分以后分子加起来恰好为一个x。?取值应该是多少呢？假设前面一个?是c1，后面那个是c2，那么通分以后分子为c1*[1-(1+√5)x/2]+c2*[1-(1-√5)x/2]，它恰好等于x。我们得到这样两个式子：常数项c1+c2=0，以及一次项-c1*(1+√5)/2-c2*(1-√5)/2=1。这两个式子足够我们解出c1和c2的准确值。  

根据Matrix67提供的思路，我们可以将任意多项式化为通项公式，之后求系数......

显然，计算量大的惊人.....

于是，我们这样看一下

求这个式子的系数.....

我们这样来看：

于是，我们根据高数里面的数列知识得出：

可以推出：

同理：

于是.....

D是我们求的系数，而我们已知A都是1，(k在0到正无穷)，而当k小于0时，则A，B，C，D的值全为0，因为不存在该项，所以系数为0，于是我们根据这个递推关系式，就能求得D，也就是系数的解。