hdu 2639 次优解、第K优解 0-1背包
来源:互联网 发布:单片机上电复位电路 编辑:程序博客网 时间:2024/06/03 17:44
Bone Collector II
Time Limit: 5000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1877 Accepted Submission(s): 976
Here is the link:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602
Today we are not desiring the maximum value of bones,but the K-th maximum value of the bones.NOTICE that,we considerate two ways that get the same value of bones are the same.That means,it will be a strictly decreasing sequence from the 1st maximum , 2nd maximum .. to the K-th maximum.
If the total number of different values is less than K,just ouput 0.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, K(N <= 100 , V <= 1000 , K <= 30)representing the number of bones and the volume of his bag and the K we need. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.
35 10 21 2 3 4 55 4 3 2 15 10 121 2 3 4 55 4 3 2 15 10 161 2 3 4 55 4 3 2 1
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对于求次优解、第K优解类的问题,如果相应的最优解问题能写出状态转移方程、用动态规划解决,那么求次优解往往可以相同的复杂度解决,第K优解则比求最优解的复杂度上多一个系数K。
其基本思想是将每个状态都表示成有序队列,将状态转移方程中的max/min转化成有序队列的合并。这里仍然以01背包为例讲解一下。
首先看01背包求最优解的状态转移方程:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
。如果要求第K优解,那么状态f[i][v]就应该是一个大小为K的数组f[i][v][1..K]。其中f[i][v][k]表示前i个物品、背包大小为 v时,第k优解的值。“f[i][v]是一个大小为K的数组”这一句,熟悉C语言的同学可能比较好理解,或者也可以简单地理解为在原来的方程中加了一维。 显然f[i][v][1..K]这K个数是由大到小排列的,所以我们把它认为是一个有序队列。
然后原方程就可以解释为:f[i][v]这个有序队列是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]这两个有序队列合并得到的。有序队列f[i-1][v]即f[i-1][v][1..K],f[i-1][v-c[i]]+w[i]则理解为在f[i-1][v-c[i]] [1..K]的每个数上加上w[i]后得到的有序队列。合并这两个有序队列并将结果的前K项储存到f[i][v][1..K]中的复杂度是O(K)。最后的答案是f[N][V][K]。总的复杂度是O(VNK)。
为什么这个方法正确呢?实际上,一个正确的状态转移方程的求解过程遍历了所有可用的策略,也就覆盖了问题的所有方案。只不过由于是求最优解,所以其 它在任何一个策略上达不到最优的方案都被忽略了。如果把每个状态表示成一个大小为K的数组,并在这个数组中有序的保存该状态可取到的前K个最优值。那么, 对于任两个状态的max运算等价于两个由大到小的有序队列的合并。
另外还要注意题目对于“第K优解”的定义,将策略不同但权值相同的两个方案是看作同一个解还是不同的解。如果是前者,则维护有序队列时要保证队列里的数没有重复的
状态转移方程:#include<iostream>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int dp[5005][55],v[1005],w[1005],a[55],b[55];int main(){int n,m,t;cin>>t;while(t--){memset(dp,0,sizeof(dp));int i,j,k,k1;cin>>n>>m>>k;for(i=1;i<=n;++i){cin>>v[i];}for(i=1;i<=n;++i){cin>>w[i];}for(i=1;i<=n;++i){for(j=m;j>=w[i];--j){for(k1=1;k1<=k;++k1){a[k1]=dp[j-w[i]][k1]+v[i]; //A为放第i个物品的最优值b[k1]=dp[j][k1];//B为不放第i个物品的最优值}a[k+1]=b[k+1]=-1;//把A、B的第k+1个元素标记为-1int k2=1,x=1,y=1;while((a[x]!=-1||b[y]!=-1)&&k2<=k) //循环找出前k个最优值{if(a[x]>b[y]){dp[j][k2]=a[x];x++;}else{dp[j][k2]=b[y];y++;}if(dp[j][k2]!=dp[j][k2-1]) //策略不同但权值相同的两个方案看做同一个解k2++;}}}cout<<dp[m][k]<<endl;}}
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