进制存储和运算（1）——有符数与无符数

最近补基础知识，把一些内容通过博客记录下来，以便今后参考 

 

 

            我们知道，计算机系统设计的一个目的，就是将存储空间划分为方便管理的单元。关于为什么用二进制和十六进制来处理数据也不用我多废话了，看下例子：   

    比如10进制23=2*10^1+3*10^0，那么16进制0x23=2*16^1+3*16^0=35

    如果是2进制，100011=1*2^5+1*2^1+1*2^0=35=0x23

    我们发现10对应2,而0011对应3，所以0x23很容易通过8421码写出其2进制形式。

 

 关于大端小端：

    这里就遇到个问题，假设有个int a；a有四个字节空间，假设其物理地址分别是

    0x00,

    0x01，

    0x02，

    0x03

    现在要存储0x12345678这个数，很明显，这个数确实需要四个字节的空间才能存下，那么到底是从上往下存，还是从下往上存呢？这里就涉及到大端（big endian）和小端（little endian）概念。

    如果按大端存法，从起始地址0x00开始存最高位字节12，然后地址按权位降低而往下递增；如果按小端存法，则刚好相反：低地址存低权位，高地址存高权位。

 

 

 

小端存法

地址标识

大端存法

78

0x00

12

56

0x01

34

34

0x02

56

12

0x03

78

 

    尽管从直觉上我们觉得貌似右边的存法更符合习惯，然而一般我们接触的系统环境，都是采取小端存法。至于大小端的这个端（endian）的来历，有这么一则趣闻：“来自于Jonathan Swift的《格利佛游记》：Lilliput和Blefuscu这两个强国在过去的36个月中一直在苦战。战争的原因：大家都知道，吃鸡蛋的时候，原始的方法是打破鸡蛋较大的一端，可以那时的皇帝的祖父由于小时侯吃鸡蛋，按这种方法把手指弄破了，因此他的父亲，就下令，命令所有的子民吃鸡蛋的时候，必须先打破鸡蛋较小的一端，违令者重罚。然后老百姓对此法令极为反感，期间发生了多次叛乱，其中一个皇帝因此送命，另一个丢了王位，产生叛乱的原因就是另一个国家Blefuscu的国王大臣煽动起来的，叛乱平息后，就逃到这个帝国避难。据估计，先后几次有11000余人情愿死也不肯去打破鸡蛋较小的端吃鸡蛋。这个其实讽刺当时英国和法国之间持续的冲突。Danny Cohen一位网络协议的开创者，第一次使用这两个术语指代字节顺序，后来就被大家广泛接受。”

 

    按理说，如果为了更好的管理存储空间，那么某段存储空间所存储的类型应该是确定，这样在系统对数据进行理解时才不容易产生错误，因此大多数应用编程都不推荐对存储对象进行强制类型转换操作。然而，以C语言为例，对系统级编程、嵌入式编程方面，这种操作是必须的。比如，要验证所使用的系统环境是大端还是小端，可以使用如下方式进行验证：

 

      int a = 0x12345678;

      int i = 0;

      for(i=0; i<4; i++){

              printf("%d\n", ((unsigned char *)&a)[i]);

      }

 

    以上代码通过打印就能得出上面表格所展示的顺序，反正我运行出来是倒着的:)

 

    C语言对二进制的布尔运算&、|、~、^，只能运用到整型的数据类型，其应用之一便是网络IP中的掩码概念，通过&运算性质实现。比如任何16进制的数，如果做&FF操作，则必然只保留一个字节的数据，而更高权位的值都全部置0。而我们常见的IP:192.168.1.127,mask：255.255.255.0(FF.FF.FF.0)。当IP&mask时，结果保留IP值中最末一个字节127的值，而前面的192.168.1属于网关端IP。

   

有符数和无符数理解：

    无符数比较好理解，这类二进制数所有位均表示正整数；

    而关于有符数，一般采取补码方式。C语言的标准里并没有规定必须用补码，不过几乎所有机器都认同补码，所以它是事实上的C标准。

    都晓得有符数里的正整数和无符数表达类似，而负整数却多定义了符号位，关于这个符号位很神秘，貌似是专门定义设置的特殊位？那么符号位在运算时到底是什么意义呢？例如：有符数0x1111,它的值是-1，why？

    要搞清楚这点，首先要搞清楚有符数0x1000，他的值是-8，也就是-1*2^(3)……发现没？首位的符号位，其实就是负权的意思，而其余的位仍然是正权：

有符数0x1001=-1*2^(3）+1*2^(0)=-7……

    这里已经很明确了，当4bits的16进制有符数，最小值肯定是0x1000，其中首位是负权（-8），后三位都是正权，正权值越大，做加法时抵销的负数越多，有符数的值自然就越大。再来看0x1111why等于-1？因为首位符号位值是-8，而剩余的111值是+7，

于是-8+7=-1

所以0x1111=-1*2^(3）+1*2^(2）+1*2^(1）+1*2^(0）=-1

 

    另，当考虑无符数时，0x1000就是+8，而0x111还是+7，

    我们发现1*2^(3)-1=1*2^(2)+1*2^(1)+1*2^(0)，也就是说0x1000-1=0x0111

 

    有了这个两个基础，我们再想求出有符整型int(4字节32位)的最大值和最小值，是不是感觉特别容易了？

    Tmax=2^(31)-1=2147483647 = 0x7FFFFFFF

    Tmin=-2^(31)=-2147483648 = 0x10000000

 

    我们知道，大多数人在理解补码时，还是习惯利用取反加一的办法来计算正负数转换，而并非理解了补码、理解符号位的实质意义。再退一步讲，按位取反加一的实质原理，估计也不是每个使用者都清楚，那么接下来我就试着分析一下。

    当我们需要改变有符数的符号时，比如-5变成5，最简单的方法就是-x=~x+1和-x=~（x-1），前者放之四海而皆准，而后者x!=0。两个公式成立的共同依据（我觉得），应该是对于有符数x，x+~x=-1，而相加得-1的原理（还是我觉得），乃是~操作本质就是按位颠倒，那么x和~x的所有位都不相同（某个bit上你是1我就是0，你是0我就是1），于是乎，x+~x的结果肯定为全1（两者相加每个bit上有且仅有一个1），当然就是-1了！

    这就是补码最神奇的一个现象。更神奇的是，我们还可以像原码那样，做补码的二进制加减法，例如：-7+3

100100111100

 

上图像是做无符数加减法样得出1100，其补码值刚好等于-4 :-）

 

                   还有个奇特的数字x=2^(w-1),有x=~x+1，这个数字是绝对的例外。

    回到上面Tmax和Tmin，遇到个问题，如果要用宏定义表示Tmin时可能出现问题：

#define Tmin -2147483648

    当编译器在处理-X这一类型的数据时，是先读X，再读-，当处理2147483648时，明显超过了有符正整数的最大值Tmax。

我能想到的有三种替代办法可以避免此类问题：

#define Tmin -2147483647-1

#define Tmin -(2147483648U)

#define Tmin 1<<31

     现在的编译器经过优化，容许并能够正确处理-2147483648，编译时会产生waring，不过我们在开发时应该还是尽可能的避免。

 

 

有符数和无符数转换

    C语言里经常会遇上有符数和无符数之间的转换问题，为这里就来讨论下转换的公式。为了描述方便，用X表示一段二进制数，w表示X的二进制位数，用T表示有符数，U表示无符数。

 

    对于w位的有符数X，转无符数：T2U(X)=Xw-1*2^(w)+X

    此公式很好理解。首先，如果有符数X为正数，那么符号位Xw-1肯定为0，

此时T2U(X)=X毫无悬念；

 

    如果有符数X为负数，那么符号位Xw-1肯定为1，该位在有符数的环境下为负权，即-1*2^(w-1)。现在要把X理解成无符数，那么符号位Xw-1就应该算成是1*2^(w-1)，于是，T(X)和U(X)应该相差两个1*2^(w-1)，

U(X)-T(X)=1*2^(w-1)-(-1*2^(w-1))=1*2^(w)……正权部分相同所以抵消掉

U(X)=1*2^(w)+T(X)===>T2U(X)=Xw-1*2^(w)+X

 

    例如X=0x1010，此时w=4，T(X)=-6，X4-1=1,X2-1=1

U(X)=1*2^4+(-6)=10

 

    同理，对于w位的无符数X，转有符数：U2T(X)=-Xw-1*2^(w)+X

    当无符数X的最高位Xw-1为1，转换成有符数时会产生负权，相差两个-2^(w-1)，于是要补-1*2^(w)。于是T(X)=-1*2^(w)+U(X)。

 

 

求模（余数）运算

    求模运算（mod）对非数学专业来说相对陌生，而求余则是小学数学内容，我们总觉得自己在这个内容上没啥想不通的，果真如此么？来看几个例子：

9mod8，9除以8余几？答案是1，妥妥的没错，那么再作下一道题：

-9mod8？(╯﹏╰)b，感觉还好吧？其实也简单，有两个答案，下面是演算过程：

 

-9mod8 = -9+1*8 = -1……商1余-1

-9mod8 = -9+2*8 = 7 ……商2余7

 

-9mod8的余数到底是-1还是7呢？小学数学的定义是以最小的数作为余数，可小学没学过负数不是？因此-1和7都是-9÷8的余数。

从十进制的规律来看，如果除数是10^n，那么112mod100=12，112mod10=2，可以看出，除数是截断大于或等于自己的全部权位，而保留比自己小的权位作为余数结果的，那么二进制也是类似。

-9：0x10111

8 ： 0x1000

    按照十进制的规律，-9mod8 = -9mod2^3=111，问题就来了，前面补0还是补1呢？最终余数结果到底是0x0111还是0x1111？

    关键就看你把结果111当成有符数看还是无符数看，当成无符数，自然满足逻辑右移，取值为0x0111（7）；而当成有符数的话，自然满足算数右移，于是取回位0x1111（-1）。

    不同的机器可能有不同的选择，一般来说，mod运算会把截断数字视为有符号数，因此得-1的机器占多数。

 

有符数和无符数加法和乘法 

    上面扯求模运算可不是为了掉书袋，而是有真实用途的，接下来先讨论无符数的加法。如果对于两个w位的无符数Xu,Yu<2^w，做加法结果完全有可能溢出:

（Xu+Yu<2^(w+1)），使得w位无符数不能表达，这时就涉及到截断（X+Y为截断后实际值，Xu+Yu为相加的逻辑理论值，下同）。 

 

                   Xu+Yu     （Xu+Yu<2^w）

X+Y=

                  Xu+Yu-2^w  (2^w<=Xu+Yu<2^(w+1))

 

    从上面的公式可以看出，从Xu+Yu>=2^w开始往上增加时，结果会减去一个2^w，根据上面的求模运算规律，相当于做了一个Xu+Yu mod 2^w，其实质就是把加法溢出的进位给减掉了。

 

    无符数的加法很好理解，比较麻烦的是有符数的补码加法。对于两个有符数Xt、Yt，有-2^(w-1)<Xt,Yt<2^(w-1)。那么两数的和-2^w<Xt+Yt<2^w-2,也有部分是溢出的

 

       Xt+Yt-2^w  (2^(w-1)<Xt+Yt)

X+Y =   Xt+Yt      (-2^(w-1)<Xt+Yt<2^(w-1))

        Xt+Yt+2^w   (Xt+Yt<-2^(w-1))

 

    从上面的公式可以看出，当Xt+Yt的和正溢出时，由于有多溢出的进位Xw,因此应该减掉2^w，当和在有符数范围内自然是等于本身，而当和负溢出时，由于有溢出的进位并且该进位是负权位（符号位）Xw，因此应该加上个2^w将其抵消掉……

 

    无论正溢出还负溢出，其处理方式的实质都相当于做mod 2^w运算。还有我们看到一个规律那就是，w位的数相加，最多溢出到w+1位，而不可能溢出更多的位，这个用十进制来理解比较容易：两位数相加，最大值莫过于99+99=198，变成三位数，不可能加成四位数，于是无论用+-2^w还是用mod2^w都是在运算上都是完备的截断。

   

    乘法是另一种意义上的加法，但是乘法可能要溢出到2^(2w)位,不过没关系，还是用mod2^w搞定，因为不管你是正数还是负数，不管你怎么进位，你的w位一定是确定的，事实上补码的乘法运算也是和原码完全一样。