时间复杂度

        在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。这是一个关于代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述，不包括这个函数的低阶项和首项系数。

       算法复杂度 

        算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。其作用： 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。（算法的复杂性体现在运行该算法时的计算机所需资源的多少上，计算机资源最重要的是时间和空间（即寄存器）资源，因此复杂度分为时间和空间复杂度）。

    时间复杂度

计算方法

1. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n的某一个函数f(n)，因此，算法的时间复杂度记做：T(n)=O(f(n))

分析：随着模块n的增大，算法执行的时间的增长率和 f(n) 的增长率成正比，所以 f(n) 越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

2. 在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出 T(n) 的同数量级（它的同数量级有以下：1，log(2)n，n，n log(2)n ，n的平方，n的三次方，2的n次方，n!），找出后，f(n) = 该数量级，若 T(n)/f(n) 求极限可得到一常数c，则时间复杂度T(n) = O(f(n))

例：算法：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

for(i=1;i<=n;++i)

{

for(j=1;j<=n;++j)

{

c[i][j]=0;//该步骤属于基本操作执行次数：n的平方次

for(k=1;k<=n;++k)

c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];//该步骤属于基本操作执行次数：n的三次方次

}

}

则有 T(n) = n 的平方+n的三次方，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n的三次方 为T（n）的同数量级

则有 f(n) = n的三次方，然后根据 T(n)/f(n) 求极限可得到常数c

则该算法的时间复杂度：T(n) = O(n^3) 注：n^3即是n的3次方。

3.在pascal中比较容易理解，容易计算的方法是：看看有几重for循环，只有一重则时间复杂度为O(n)，二重则为O(n^2)，依此类推，如果有二分则为O(logn)，二分例如快速幂、二分查找，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度则为O(nlogn)。

分类

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n),

线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),...，

k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

  

《数据结构（C语言版）》------严蔚敏 吴伟民编著 第15页有句话"整个算法的执行时间与基本操作重复执行的次数成正比。"

基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，于是算法的时间量度可以记为：T(n) = O(f(n))

如果按照这么推断，T(n)应该表示的是算法的时间量度，也就是算法执行的时间。

而该页对“语句频度”也有定义：指的是该语句重复执行的次数。

如果是基本操作所在语句重复执行的次数，那么就该是f(n)。

上边的n都表示的问题规模。

空间复杂度

一个程序的空间复杂度是指运行完一个程序所需内存的大小。利用程序的空间复杂度，可以对程序的运行所需要的内存多少有个预先估计。一个程序执行时除了需要存储空间和存储本身所使用的指令、常数、变量和输入数据外，还需要一些对数据进行操作的工作单元和存储一些为现实计算所需信息的辅助空间。程序执行时所需存储空间包括以下两部分。

（1）固定部分。这部分空间的大小与输入/输出的数据的个数多少、数值无关。主要包括指令空间（即代码空间）、数据空间（常量、简单变量）等所占的空间。这部分属于静态空间。

（2）可变空间，这部分空间的主要包括动态分配的空间，以及递归栈所需的空间等。这部分的空间大小与算法有关。

一个算法所需的存储空间用f(n)表示。

S(n)=O(f(n))

其中n为问题的规模，S(n)表示空间复杂度。

一个算法所耗费的时间=算法中每条语句的执行时间之和

每条语句的执行时间=语句的执行次数(即频度(Frequency Count))×语句执行一次所需时间

算法转换为程序后，每条语句执行一次所需的时间取决于机器的指令性能、速度以及编译所产生的代码质量等难以确定的因素。

若要独立于机器的软、硬件系统来分析算法的时间耗费，则设每条语句执行一次所需的时间均是单位时间，一个算法的时间耗费就是该算法中所有语句的频度之和。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。

(1)   for(i=1;i<=n;i++)            for(j=1;j<=n;j++)                 s++;(2)   for(i=1;i<=n;i++)            for(j=i;j<=n;j++)                 s++;(3)   for(i=1;i<=n;i++)            for(j=1;j<=i;j++)                 s++;(4)   i=1;k=0;      while(i<=n-1){           k+=10*i;      i++;      }(5)   for(i=1;i<=n;i++)       for(j=1;j<=i;j++)         for(k=1;k<=j;k++)        x=x+1;

1.时间复杂度O(n^2)       2.时间复杂度O(n^2)       3.时间复杂度O(n^2)       4.时间复杂度O(n)       5.时间复杂度O(n^3)一般来说，时间复杂度是总运算次数表达式中受n的变化影响最大的那一项(不含系数)。比如：一般总运算次数表达式类似于这样a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f   ；  a<>0时，时间复杂度就是O(2^n) ； a=0,b<>0 =>O(n^3)；a,b=0,c<>0 =>O(n^2)依此类推

那么，总运算次数又是如何计算出的呢？一般来说，我们经常使用for循环，就像刚才五个题，我们就以它们为例1.循环了n*n次，当然是O(n^2)2.循环了(n+n-1+n-2+...+1)≈(n^2)/2，因为时间复杂度是不考虑系数的，所以也是O(n^2)3.循环了(1+2+3+...+n)≈(n^2)/2,当然也是O(n^2)4.循环了n-1≈n次，所以是O(n)5.循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦)≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)