Hoare选择算法 寻找第k小元素C实现 算法的“AWK脚手架和grap运行过程分析”

现实生活中常有找“最大”、“最小”及“中位数”等需求，解决这样的问题不用将整个序列排序。寻找“最大”、“最小”问题可以用“堆”来完成（ 时间复杂度不会超过O(logn) ）。对于寻找“中位数”问题，可以将其抽象为寻找序列n中第k小元素的问题。《编程珠玑》中完成寻找序列n第k小元素问题的“划分序列”思路跟“快速排序”中“划分序列”思想结构相同。完成寻找第k小元素问题分两个层次来完成，1划分序列得第m小元素；2选择序列得k小元素。

1 Hoare选择算法实现

(1) 划分

[1] Lomuto划分

Lomuto方法根据值t将序列A[L, U]划分为小于t和大于等于t的两部分。用m指向小于t部分序列的最大下标，用i扫描还未经扫描的序列，如果遇见比t小的元素就将i指向的元素跟++m指向的元素交换，使小于t部分序列向右扩展；如果i指向的元素不小于t则不做任何操作；然后i增1直到i >  U。扫描k步后序列A[L…U]可能具有如下结构

当以t值将整个序列划分完毕时，A[L…U]这个序列被划分为如下结构

此时整个序列被分为两部分，小于t的部分及大于等于t的部分。此时m所指向的元素就是整个序列中第（m – L + 1）小的元素。此时A[L…m-1] < A[m] <= A[M+1…U]。

[2] Bob  Sedgewick划分

BobSedgewick从右往左扫描A[L…U]序列，用m指向大于或等于t序列的最左一个元素。用i从右往左扫描还未扫描的元素，如果i指向的元素比t大则跟--m所指向的元素交换，使大于t序列向左扩展；如果i所指元素比t小则不作任何处理；然后i减1直到i = L。经扫描k步之后序列A[L…U]可能具有如下结构

当以t值将整个序列划分完毕时，将A[L…U]这个序列被划分为如下结构

此时整个序列被分为两部分，小于t的部分及大于等于t的部分。此时m所指向的元素就是整个序列中第（m – L + 1）小的元素。此时A[L…m-1] < A[m] <= A[M+1…U]。

(2) Hoare选择第k元素程序实现

从AWK代码表述的算法还原而来，AWK函数易于被AWK程序测试。

需要用到的两元素交换函数Swap()和返回[L,U]间的随机函数RandInt()代码如下

typedef int TYPE;//产生一个随机数m, l <= m < hint  RandInt(int l, int h){if( !(h - l) )return l;return  l + rand() % (h-l) ;}//交换TYPE类型数组中下标为i和j两个元素的值void  swap(TYPE *a, int i, int j){    TYPE t;t= a[i];a[i]= a[j];a[j]= t;}

[1] Bob Sedgewick递归

int SedgewickRecursion(TYPE *a, int l, int u, int k){int i, m, r;TYPE t;if(l <=u ){//Both m and i point to the element which is next to the end onem = i = u + 1;r= RandInt(l, u + 1);swap(l, r);//Flag the first elementt= a[l];do{//Go on when meet the element which is smaller than t//Until to the first elementwhile(a[--i] < t);//Swap the element which is not smaller than t with --mswap(--m, i);}while(i != l);if(m < k - 1){//The k samll element in a[m + 1, u]SedgewickRecursion(m + 1, u, k);}else if(m > k - 1){//The k small element in a[l, m -1]SedgewickRecursion(l, m - 1, k);}}return a[m];}

[2] Bob Sedgewick迭代

int SedgewickIteration(TYPE *a, int l, int u, int k){int i, m, r;TYPE t;while(l <=u ){//Both m and i point to the element which is next to the end onem = i = u + 1;r= RandInt(l, u + 1);swap(l, r);//Flag the first elementt= a[l];do{//Go on when meet the element which is smaller than t//Until to the first elementwhile(a[--i] < t);//Swap the element which is not smaller than t with --mswap(--m, i);}while(i != l);if(m < k - 1){//The k samll element in a[m + 1, u]l= m + 1;}else if(m > k - 1){//The k small element in a[l, m -1]u= m -1;}else {return a[m];}}}

(3) 体会

Lomuto和Sedgewick划分其实是得到了A[L, m - 1] < t <= A[m, U]即确定t( a[L]，首元素)是整个序列A的第(m – L + 1)小元素。有了随机函数RandInt()之后t的值就是整个序列中随机的一个元素，这样的随机性避免序列A的特殊性。如果需要寻找的k值比m小，则第k元素必定在A[L, m - 1]中；否则第k小元素在A[m +1, U]中，每运行一次划分代码，序列至少会排除一个元素而被丢掉所以最终一定能够找到第k小元素，最坏的是最后只剩下第k小元素。

(4) 测试

用AWK语言搭建一个脚手架测试所编写的程序。

[1] 编写AWK程序

在Linux终端中新建一个文件用来编写AWK程序：vi TestAlgo.awk，建立好后保存此文件。根据AWK程序框架编写AWK程序。程序中定义的函数除了语法与C稍有不同之外，其实现过程跟C程序都是一样的。所以，有关于C语言程序的算法都可以以AWK程序格式定义到AWK程序中，算法经测试后再用C将算法表达出来。

[2] 运行AWK程序

AWK程序可以直接在命令行终端编写，也可以将AWK程序编写在如上建立的TestAlgo.awk文件中。AWK程序的输入数据来自具体的文件或者用户输入stdin。

命令行终端运行AWK代码格式为，

awk  ‘awk-code’ file 或者 awk ‘awk-code’

lly7@debian:~/AWK$ awk '$1==1 {print $2}' awk.dat

happy

lly7@debian:~/AWK$ awk '$1==1 {print $2}'

1 happy

happy

awk.dat文件中有一行的内容为” 1 happy”。当不用具体文件作为awk程序输入时，运行awk程序后就会等待用户的输入，当用户输入的第一个字段为1且第二个字段为happy时awk程序就会输出第二字段内容happy。

运行AWK程序文件格式为

awk -f  ‘awk-file’  file 或者 awk  -f  ‘awk-file’

如以下为TestAlgo.awk程序用文件作为输入时测试产生[L, U]整数的随机函数的界面，

lly7@debian:~/AWK$ awk -f TestAlgo.awk awk.dat

AWK Application Start

0.429662 0.3236170.026259 0.339192 0.793282

2 3 4 1 1 3 0 2 3 1

AWK Application END

lly7@debian:~/AWK$

用stdin流作为awk程序输入，测试产生[L, U]整数的随机函数的界面

lly7@debian:~/AWK$ awk -f TestAlgo.awk

AWK Application Start

fill 5

0.585005 0.1711470.462567 0.370760 0.368752

randint 10

0 4 3 1 2 2 3 1 4 0

^C

lly7@debian:~/AWK$

2 运行时间

分析Bob Sedgewick划分下实现的Hoare选择算法的时间复杂度。

(1) 数学角度分析

BobSedgewick划分比Lomuto划分法少一个交换语句且Bob Sedgewick以第一个元素为哨兵较少了循环语句内的判断语句。若整个程序大部分运行的时间在Hoare选择算法程序上，那么Bob Sedgewick算法就显得有优势。从另一个角度上来说，如果在众多的函数中都能够做到以上两点的优化，那么对于整个程序来说也是意义重大。

Hoare选择算法的递归和迭代的时间复杂度都是O(N)（递归后只选择2个序列的一个进行下一次操作），它运行的最坏情况是每运行一次只减少一个元素且最后才找到第k小元素。那么此时Bob Sedgewick划分法处理的元素个数为：

Hoare选择算法至少会处理N个元素，但就平均来讲，Hoare选择算法在处理完N个元素（Sedgewick划分）之后还有可能只处理1,2,3,…,N-1个元素，所以Hoare处理元素的平均个数为：

所以被Hoare选择算法划分的元素的总数在[N, N(N+1)/2]之间。

(2) grap图形分析

为了将数据用图形来描述，Jon  L. Bentley和Brian  W. Kernighan共同创建了Grap语言。在google里单独输入Grap几乎还没有它的消息。关于grap语言见”DebianGNU/Linux Desktop配置grap”笔记。

.G1L = 1; U = 100;K =  int( (L + U) / 2 );Y = (U - L + 1) * (L + U) / 2;MUL = Y;COUNT = 1;define RandInt { ($1) + int( ( ($2) - ($1) ) * rand() )}I = 134;frame invisticks left in from 0 to 0 ticks bot in from 0 to 0label bot "Hoare find the k small number"line from K,0 to K,Yfor l from L to U by 1 do{if L <= U then {Y= Y - int(MUL / 10);srand(I);I = I + 1;M = RandInt(L, U);COUNT = COUNT + U - L + 1;line from L, Y to U, Ybullet at M,Y;if K <= M then {U = M - 1};if K >= M then {L = M + 1};}}print COUNT.G2

修改随机数I及序列U的值后，在Linux命令行终端运行此grap程序：grap k_small.g | pic | groff  > k_small.
下面是当寻找[1, 10]，[1, 100]的中位数过程图示，每组有两张图片，是在不同的随机数种子之下的实验。图中的黑点表示随机到的元素，等效于t，线条的长度形象的表示了当前中位数所在的集合。ComCount表示Hoare选择算法寻找中位数过程中元素比较次数。

      

不同随机数种子下寻找[1,10]中位数的过程

    

不同随机数种子寻找[1, 100]中位数的过程

3 附程序源码

(1) Lomuto 划分

[1] 递归

int LomutoRecursion(TYPE *a, int l, int u, int k){int i, m, r;TYPE t;if(l <=u ){m= l;//Rand number r is between l and u + 1r= RandInt(l, u + 1);//Save the firt element in tt= a[l];//Lomuto Dividefor(i = l + 1; i <= u; ++i){if(a[i] < t)swap(++m, i);}//Exchange the t and a[m]swap(l, m);if(m < k - 1){//The k samll element in a[m + 1, u]LomutoRecursion(m + 1, u, k);}else if(m > k - 1){//The k small element in a[l, m -1]LomutoRecursion(l, m - 1, k);}}    return a[m];}

[2] 迭代

int LomutoIteration(TYPE *a, int l, int u, int k){int i, m, r;TYPE t;while( l <= u){m= l;//Rand number r is between l and u + 1r= RandInt(l, u + 1);//Save first element in tt= a[l];////Lomuto Dividefor(i = l + 1; i <= u; ++i){if(a[i] < t)swap(++m, i);}//Exchange the t and a[m]swap(l, m);if(m < k - 1){//The k samll element in a[m + 1, u]l= m + 1;}else if(m > k - 1){//The k small element in a[l, m -1]u= m -1;}else {return a[m];}}}

(2) AWK脚手架代码

BEGIN{print "AWK Application Start"MULTI= 10000}function RandInt(l, h){if( !(h - l) )return l;return l + int(rand() * MULTI) % (h-l) ;}function swap(i, j, t){t= a[i];a[i]= a[j];a[j]= t;}function SedgewickRecursion(l, u, k, i, m, t, r){if(l <=u ){#Both m and i point to the element which is next to the end onem = i = u + 1;r= RandInt(l, u + 1);print "r: " rswap(l, r);#Flag the first elementt= a[l];do{#Go on when meet the element which is smaller than t#Until to the first elementwhile(a[--i] < t);#Swap the element which is not smaller than t with --mswap(--m, i);}while(i != l);print "m: " mif(m < k - 1){#The k samll element in a[m + 1, u]SedgewickRecursion(m + 1, u, k);}else if(m > k - 1){#The k small element in a[l, m -1]SedgewickRecursion(l, m - 1, k);}}}function SedgewickIteration(l, u, k, i, m, t, r){while(l <=u ){#Both m and i point to the element which is next to the end onem = i = u + 1;r= RandInt(l, u + 1);print "r: " rswap(l, r);#Flag the first elementt= a[l];do{#Go on when meet the element which is smaller than t#Until to the first elementwhile(a[--i] < t);#Swap the element which is not smaller than t with --mswap(--m, i);}while(i != l);print "m: " mif(m < k - 1){#The k samll element in a[m + 1, u]l= m + 1;}else if(m > k - 1){#The k small element in a[l, m -1]u= m -1;}else {return a[m];}}}function LomutoRecursion(l, u, k, i, m, t, r){if(l <=u ){m= l;r= RandInt(l, u + 1);print "r: " rt= a[l];for(i = l + 1; i <= u; ++i){if(a[i] < t)swap(++m, i);}#Exchange the t and a[m]swap(l, m);print "m: " mif(m < k - 1){#The k samll element in a[m + 1, u]LomutoRecursion(m + 1, u, k);}else if(m > k - 1){#The k small element in a[l, m -1]LomutoRecursion(l, m - 1, k);}}}function LomutoIteration(l, u, k, i, m, t, r){while( l <= u){m= l;r= RandInt(l, u + 1);print "r: " rt= a[l];for(i = l + 1; i <= u; ++i){if(a[i] < t)swap(++m, i);}#Exchange the t and a[m]swap(l, m);print "m: " mif(m < k - 1){#The k samll element in a[m + 1, u]l= m + 1;}else if(m > k - 1){#The k small element in a[l, m -1]u= m -1;}else {return a[m];}}}$1=="fill" {n = $2;for(j = 0; j < n; ++j) a[j] = rand();printf("fill: ");for(j = 0; j < n; ++j) printf("%f ", a[j]);print "\n"}$1=="randint"{for(j = 0; j < $2; ++j) printf("%d ",RandInt(0, n));print " "}$1=="swap" {r1 = RandInt(0, n);r2 = RandInt(0, n);printf("r1: %d, r2: %d\n", r1, r2);swap(r1, r2);for(j = 0; j < n; ++j) printf("%f ", a[j]);print "\n"}$1=="m" {a[0]=$2;a[1]=$3;}$1=="sdrec" {SedgewickRecursion(0, n - 1, 2);printf("sdrec: ");for(j = 0; j < n; ++j) printf("%f ", a[j]);print " "}$1=="sdite" {SedgewickIteration(0, n - 1, 5);printf("sdite: ");for(j = 0; j < n; ++j) printf("%f ", a[j]);print " "}$1=="ltrec" {LomutoRecursion(0, n - 1, 1);printf("ltrec: ");for(j = 0; j < n; ++j) printf("%f ", a[j]);print " "}$1=="ltite" {LomutoIteration(0, n - 1, 3);printf("ltite: ");for(j = 0; j < n; ++j) printf("%f ", a[j]);print " "}END{print "AWK Application END"}

Box Note Over.