背包问题

题目

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。

基本思路

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i] }。可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

代码如下

#include<stdio.h>#include<string.h>#define m 100# define max(a,b) a>b?a:bint main(){int v[100][100];int container,total_num;//背包的所能容纳的重量  以及总的商品数 int i,j;int w[100],x[100]; printf("请输入背包的容积");scanf("%d",&container); printf("请输入商品的总数量");scanf("%d",&total_num);printf("请输入每个商品的重量和价值");for(i=0;i<total_num;i++){scanf("%d%d",&w[i],&x[i]);} memset(v,0,sizeof(v));  for(i=1;i<=total_num;i++) {  for(j=0;j<=container;j++)     {     if(j>w[i])     {     v[i][j]=max(v[i-1][j],x[i]+v[i-1][j-w[i]]);     }else     {     v[i][j]=v[i-1][j];     }          } }    printf("%d",v[total_num][container]);return 0;}