错排公式与hdoj2049 不容易系列之(4)——考新郎

“错排公式”的递推形式在百度百科的解释如下：

当n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置，各不对应的方法数，其它类推.
第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；
第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；
综上得到
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.

对红字的理解：

元素a(1), a(2), a(3), ..., a(n)；位置1, 2, 3, ..., n。假设a(1)放在了位置i，a(i)却不能放在位置1，那么剩余的元素和位置是：

元素 a(2), a(3), ... a(i-1), a(i), a(i+1), ... a(n)

位置 1, 2, 3, ... i-1, i+1, ... n

 所以接下来的错排仍然是a(k)不能放在位置k，其中k属于[2, i-1]U[i+1, n]，a(i)不能放在位置1，故为D(n-1)。

//错位排序//递推公式//D[n] = (n-1)*(D[n-2]+D[n-1]), n>=3。易知D[1]=0, D[2]=1。#include <iostream>using namespace std;#define MAXN 21long long D[MAXN];//阶乘long long fact(int n){if(n==0) return 1;long long ans=1;for (int i=1; i<=n; ++i){ans*=i;}return ans;}//组合数long long comb(int n, int i){long long nume=1;for (int j=0; j<i; ++j){nume*=n;--n;}long long deno=fact(i);return nume/deno;}int main(){D[1]=0;D[2]=1;for (int i=3; i<MAXN; ++i){D[i] = (i-1)*(D[i-2]+D[i-1]);}int c, n, m;cin>>c;while (c--){cin>>n>>m;cout<<comb(n, m)*D[m]<<endl;}return 0;}