编程之美资格赛题目2： 大神与三位小伙伴

描述

L国是一个有着优美景色且物产丰富的国家，很多人都喜欢来这里旅游并且喜欢带走一些纪念品，大神同学也不例外。距离开L国的时间越来越近了，大神同学正在烦恼给她可爱的小伙伴们带什么纪念品好，现在摆在大神同学面前的有三类纪念品A, B, C可以选择，每类纪念品各有N种。其中种类为A_i, B_i, C_i的纪念品价值均为i, 且分别有N+1-i个剩余。现在大神同学希望在三类纪念品中各挑选一件然后赠送给她的三名可爱的小伙伴，但是她又不希望恰好挑出来两件价值相同的纪念品，因为这样拿到相同价值纪念品的两位小伙伴就会认为大神同学偏袒另一位小伙伴而不理睬她超过一星期。现在，大神同学希望你买到的三件纪念品能让三位小伙伴都开心并且不和她闹别扭，她想知道一共有多少种不同挑选的方法？
因为方案数可能非常大，大神同学希望知道挑选纪念品的方案数模10^9+7之后的答案。

输入
第一行包括一个数T，表示数据的组数。
接下来包含T组数据，每组数据一行，包括一个整数N。

输出
对于每组数据，输出一行“Case x: ”，其中x表示每组数据的编号(从1开始)，后接一个数，表示模10^9+7后的选择纪念品的方案数。

数据范围

小数据

1<=T<=10
1<=N<=100

大数据

1<=T<=1000

1<=N<=10^18

样例解释
对于第二组数据，合法的方案有以下几种，(X,Y,Z)表示选择了A类纪念品中价值为X的，B类纪念品中价值为Y的，C类纪念品中价值为Z的。
(1,1,1): 3*3*3=27种
(1,2,3): 3*2*1=6种
(1,3,2): 3*1*2=6种
(2,1,3): 2*3*1=6种
(2,2,2): 2*2*2=8种
(2,3,1): 2*1*3=6种
(3,1,2): 1*3*2=6种
(3,2,1): 1*2*3=6种
(3,3,3): 1*1*1=1种
一共27+6+6+6+8+6+6+6+1=72种选择纪念品的方案
注意，如(1,1,2), (2,3,3), (3,1,3)都因为恰好选择了两件价值相同的纪念品，所以并不是一种符合要求的纪念品选择方法。

思路1：利用组合，递归实现

分析样例数据，可以总结出规律，方案数可以分两部分求和，以N=4为例：

• (1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，(4,4,4)
• (1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)

易求第一部分的和，第二部分表示的是组合，即(1,2,3)涵盖了(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)等所有排列。由于3个数的所有排列共有6种，因此只要计算出(1,2,3)然后乘以6，(1,2,4)等以此类推。将两部分的和相加取模就是题解。

#include "stdio.h"#include "string.h"#include "math.h"int arr[110];//从1递增的数组int num = 3;//求num=3的组合int res[10];//临时存放组合int N;long long ans;void init(int arr[], int N){int i;for (i = 0; i < N; i++){arr[i] = i + 1;}}int solve(){int tmp = 1, i;for (i = 0; i < num; i++){tmp *= N + 1 - res[i];}return 6 * tmp;}void combination(int pos, int len){if (len == num){ans += solve();return;}if ((N - pos) < (3 - len)){return;}res[len] = arr[pos];combination(pos + 1, len + 1);combination(pos + 1, len);}int main(){int T, i, j;scanf("%d", &T);for (i = 0; i < T; i++){scanf("%d", &N);memset(res, 0, 10 * sizeof(int));ans = 0;init(arr, N);combination(0, 0);for (j = 0; j < N; j++){ans += (N - j) * (N - j) * (N - j);}long long x = pow(10.0, 9);printf("Case %d: %lld\n", i + 1, ans % (x + 7));}return 0;}

思路2：找通项

思路1中的方法需要开辟一个数组，遇到大数据时不可行。更好的办法是分析数据，观察规律，找到通项。只要找到通项，那么可以在O(1)内得到解。下面以N=3为例，分析如何得到通项：

假设题目中允许两件纪念品价值相同，上图列出了所有情况，其中红色字体的数据均是不符合题意的，那么所有情况的总和可表示为[(1+N)N/2]^3。这是因为以3*3开始的式子有3*3*3，3*3*2，3*3*1，该部分的和为3*3*(1+2+3)，然后再考虑以3*2开始的式子有3*2*3，3*2*2，3*2*1，该部分的和为3*2*(1+2+3)，同理得以3*1开始的式子和为3*1*(1+2+3)，所以以3开始的式子可以表示为3*(1+2+3)*(1+2+3)，以此类推以2或1开始的情况，因此总和可表示为[(1+N)N/2]^3。

接下来考虑如何将红色字体的数据从总和中排除。仔细分析发现红色字体的数据中，含两个3的数据有3*2*3,3*3*2,2*3*3；3*3*1，3*1*3，1*3*3，可得3*[3*3*(1+2)]，同理分析两个2和两个1的数据，分别可得3*[2*2*(1+3)]和3*[1*1*(2+3)]，对上式整理后，可得通项：

 f(N) = [(1+N)*N/2]^3 -3*[(N*(N+1)*(2*N+1)/6)*(1+N)*N/2-N^2*(1+N)^2/4]