编程之美资格赛 大神与三位小伙伴

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描述

L国是一个有着优美景色且物产丰富的国家，很多人都喜欢来这里旅游并且喜欢带走一些纪念品，大神同学也不例外。距离开L国的时间越来越近了，大神同学正在烦恼给她可爱的小伙伴们带什么纪念品好，现在摆在大神同学面前的有三类纪念品A, B, C可以选择，每类纪念品各有N种。其中种类为A_i, B_i, C_i的纪念品价值均为i, 且分别有N+1-i个剩余。现在大神同学希望在三类纪念品中各挑选一件然后赠送给她的三名可爱的小伙伴，但是她又不希望恰好挑出来两件价值相同的纪念品，因为这样拿到相同价值纪念品的两位小伙伴就会认为大神同学偏袒另一位小伙伴而不理睬她超过一星期。现在，大神同学希望你买到的三件纪念品能让三位小伙伴都开心并且不和她闹别扭，她想知道一共有多少种不同挑选的方法？

因为方案数可能非常大，大神同学希望知道挑选纪念品的方案数模10^9+7之后的答案。

输入

第一行包括一个数T，表示数据的组数。

接下来包含T组数据，每组数据一行，包括一个整数N。

输出

对于每组数据，输出一行“Case x: ”，其中x表示每组数据的编号(从1开始)，后接一个数，表示模10^9+7后的选择纪念品的方案数。

数据范围

小数据：

1<=T<=10

1<=N<=100

大数据：

1<=T<=1000

1<=N<=10^18

样例解释

对于第二组数据，合法的方案有以下几种，(X,Y,Z)表示选择了A类纪念品中价值为X的，B类纪念品中价值为Y的，C类纪念品中价值为Z的。

(1,1,1): 3*3*3=27种

(1,2,3): 3*2*1=6种

(1,3,2): 3*1*2=6种

(2,1,3): 2*3*1=6种

(2,2,2): 2*2*2=8种

(2,3,1): 2*1*3=6种

(3,1,2): 1*3*2=6种

(3,2,1): 1*2*3=6种

(3,3,3): 1*1*1=1种

一共27+6+6+6+8+6+6+6+1=72种选择纪念品的方案

注意，如(1,1,2), (2,3,3), (3,1,3)都因为恰好选择了两件价值相同的纪念品，所以并不是一种符合要求的纪念品选择方法。

样例输入

213

样例输出

Case 1: 1Case 2: 72

解题报告

小数据可以直接枚举计算解之，但对于大数据，还是需要推导一下公式。这个一个组合数学的问题，网上有其他同学给出了一些办法。这里结合母函数给出自己的分析，力图说明白。

题目简言之，A、B、C三类物品都有N个，第i(1<=i<=N)个物品价值为i，且数量为(N+1-i)。求A、B、C各一个的取法数目，要求没有刚好两个价值相同的情形。

根据题意，要么三个价值相同，要么都不一样。

令x1,x2,...,xn分别表示价值从1到N的物品，这个排列问题可以用多项示表示如下：

F(x1,x2,...,xn)=[Nx1+(N-1)x2+...+xn][Nx1+(N-1)x2+...+xn][Nx1+(N-1)x2+...+xn]

多项式展开后，x1^3系数即表示价值为1的取法数目，x1x2x3系数即表示选取价值为1,2,3的排列数。注意，由于x1x2x3没有顺序，对应到问题中，则包含了价值为1、2、3的6种排列。

因而，F的展开式当中，立方项及只含x1,x2,...,xn一次项的系数和即为所求。这个可以用减法计算，即刨去二次项系数和。

首先，总的系数和为[N+(N-1)+...+1]^3=S^3，令S=N+(N-1)+...+1=N(N+1)/2.

其次，计算二次项系数和。

对于x1，二次项应为x1^2(x2+x3+...+xn)。考虑其中一项，x1^2x2，x2可以从三个括号中任选一个，所以其系数为3N^2(N-1)。x1^2(x2+x3+...+xn)对应的系数和为3N^2[(N-1)+(N-2)+...+1]=3N^2(S-N)

对于x2，二次项应为x2^2(x1+x3+...+xn)。考虑其中一项，x2^2x1，x1可以从三个括号中任选一个，所以其系数为3(N-1)^2(N)。x2^2(x1+x3+...+xn)对应的系数和为3(N-1)^2[(N)+(N-2)+...+1]=3(N-1)^2[S-(N-1)]

以此类推，所有二次项系数和为

H=3[N^2(S-N)+(N-1)^2(S-(N-1))+...+1^2(S-1)]

=3{S[N^2+(N-1)^2+...+1^2]-[N^3+(N-1)^3+...+1^3]}

=3{S*N(N+1)(2N+1)/6 - N^2(N+1)^2/4]

=S*S(2N+1) - 3*S^2 

=(2N-2)S^2

最后，总数目为NUM=S^3-H=S^3-(2N-2)S^2=(S-2N+2)S^2，其中S=N(N+2)/2.

采用long long int计算并同时取模即可。