最长公共子序列

 

一： 作用

       最长公共子序列的问题常用于解决字符串的相似度，是一个非常实用的算法，作为码农，此算法是我们的必备基本功。

二：概念

     举个例子，cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有2⁷个，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，我们可以看出

子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。

     我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，那么大家能够看出：cnblogs和belong的公共子序列吗？

在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

从图中我们看到了最长公共子序列为blog，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，

但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4。

 

三：解决方案

<1> 枚举法

       这种方法是最简单，也是最容易想到的，当然时间复杂度也是龟速的，我们可以分析一下，刚才也说过了cnblogs的子序列

个数有2⁷个 ，延伸一下：一个长度为N的字符串，其子序列有2^N个，每个子序列要在第二个长度为N的字符串中去匹配，匹配一次

需要O(N)的时间，总共也就是O(N*2^N)，可以看出，时间复杂度为指数级，恐怖的令人窒息。

 

<2> 动态规划

      既然是经典的题目肯定是有优化空间的，并且解题方式是有固定流程的，这里我们采用的是矩阵实现，也就是二维数组。

第一步：先计算最长公共子序列的长度。

第二步：根据长度，然后通过回溯求出最长公共子序列。

现有两个序列X={x₁,x₂,x_3，...x_i}，Y={y₁,y₂,y_3，....，y_i}，

设一个C[i,j]: 保存X_i与Y_j的LCS的长度。

递推方程为：

不知道大家看懂了没？动态规划的一个重要性质特点就是解决“子问题重叠”的场景，可以有效的避免重复计算，根据上面的

公式其实可以发现C[i,j]一直保存着当前(X_i,Y_i)的最大子序列长度。

using System; 2 namespace ConsoleApplication2 3 { 4     public class Program 5     { 6         static int[,] martix; 7  8         static string str1 = "cnblogs"; 9         static string str2 = "belong";10 11         static void Main(string[] args)12         {13             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];14 15             LCS(str1, str2);16 17             //只要拿出矩阵最后一个位置的数字即可18             Console.WriteLine("当前最大公共子序列的长度为:{0}", martix[str1.Length, str2.Length]);19 20             Console.Read();21         }22 23         static void LCS(string str1, string str2)24         {25             //初始化边界，过滤掉0的情况26             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)27                 martix[i, 0] = 0;28 29             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)30                 martix[0, j] = 0;31 32             //填充矩阵33             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)34             {35                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)36                 {37                     //相等的情况38                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])39                     {40                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;41                     }42                     else43                     {44                         //比较“左边”和“上边“，根据其max来填充45                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])46                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];47                         else48                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];49                     }50                 }51             }52         }53     }54 }

图大家可以自己画一画，代码完全是根据上面的公式照搬过来的，长度的问题我们已经解决了，这次要解决输出最长子序列的问题，

我们采用一个标记函数Flag[i,j]，当

①：C[i,j]=C[i-1,j-1]+1  时 标记Flag[i,j]="left_up";    （左上方箭头）

②：C[i-1,j]>=C[i,j-1]   时 标记Flag[i,j]="left";          （左箭头）

③: C[i-1,j]<C[i,j-1]     时 标记Flag[i,j]="up";            （上箭头）

 

例如：我输入两个序列X=acgbfhk，Y=cegefkh。

using System; 2  3 namespace ConsoleApplication2 4 { 5     public class Program 6     { 7         static int[,] martix; 8  9         static string[,] flag;10 11         static string str1 = "acgbfhk";12 13         static string str2 = "cegefkh";14 15         static void Main(string[] args)16         {17             martix = new int[str1.Length + 1, str2.Length + 1];18 19             flag = new string[str1.Length + 1, str2.Length + 1];20 21             LCS(str1, str2);22 23             //打印子序列24             SubSequence(str1.Length, str2.Length);25 26             Console.Read();27         }28 29         static void LCS(string str1, string str2)30         {31             //初始化边界，过滤掉0的情况32             for (int i = 0; i <= str1.Length; i++)33                 martix[i, 0] = 0;34 35             for (int j = 0; j <= str2.Length; j++)36                 martix[0, j] = 0;37 38             //填充矩阵39             for (int i = 1; i <= str1.Length; i++)40             {41                 for (int j = 1; j <= str2.Length; j++)42                 {43                     //相等的情况44                     if (str1[i - 1] == str2[j - 1])45                     {46                         martix[i, j] = martix[i - 1, j - 1] + 1;47                         flag[i, j] = "left_up";48                     }49                     else50                     {51                         //比较“左边”和“上边“，根据其max来填充52                         if (martix[i - 1, j] >= martix[i, j - 1])53                         {54                             martix[i, j] = martix[i - 1, j];55                             flag[i, j] = "left";56                         }57                         else58                         {59                             martix[i, j] = martix[i, j - 1];60                             flag[i, j] = "up";61                         }62                     }63                 }64             }65         }66 67         static void SubSequence(int i, int j)68         {69             if (i == 0 || j == 0)70                 return;71 72             if (flag[i, j] == "left_up")73             {74                 Console.WriteLine("{0}: 当前坐标:（{1},{2}）", str2[j - 1], i - 1, j - 1);75 76                 //左前方77                 SubSequence(i - 1, j - 1);78             }79             else80             {81                 if (flag[i, j] == "up")82                 {83                     SubSequence(i, j - 1);84                 }85                 else86                 {87                     SubSequence(i - 1, j);88                 }89             }90         }91     }92 }

由于直接绘图很麻烦，嘿嘿，我就用手机拍了张：

好，我们再输入两个字符串：

        static string str1 = "abcbdab";2 3         static string str2 = "bdcaba";

通过上面的两张图，我们来分析下它的时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度：构建矩阵我们花费了O(MN)的时间，回溯时我们花费了O（M+N)的时间，两者相加最终我们花费了O(MN)的时间。

空间复杂度：构建矩阵我们花费了O(MN)的空间，标记函数也花费了O(MN)的空间，两者相加最终我们花费了O(MN)的空间。