算法——寻找两个有序数组的中值

1. 算法描述

有两个数组 A 和 B，均为有序排列，A的长度为m，B的长度为n，求 A 和 B 合在一起后的中值.

2. 问题分析

• 这里要注意一下：要充分利用 A和B均为有序的特性
• 该问题进一步可转化为求A和B的任意K值，如三分位、四分位.

思路一：将A和B合并成新的数组

/** * 合并有序数组，然后寻找K值 *  * @param a *            有序数组a * @param b *            有序数组b * @param k *            k值位置，0<=k<=a.length+b.length-1 * @return k值 */public static int findKthByMerge(int[] a, int[] b, int k) {System.out.println("Find kth by merge array first");int[] ab = new int[a.length + b.length];int ai = 0, bi = 0, abi = 0;while (ai < a.length && bi < b.length) {ab[abi++] = (a[ai] < b[bi]) ? a[ai++] : b[bi++];}while (ai < a.length) {ab[abi++] = a[ai++];}while (bi < b.length) {ab[abi++] = b[bi++];}System.out.println(Arrays.toString(ab));return ab[k];}

这种方法最容易想到，合并成有序数组后即可求任意k值，其时间复杂度为 O（m+n）， 空间复杂图为O（m+n)

这里反思一下：真的需要合并数组吗？

思路二：采用扫描计数方法

/** * 无需合并数组，利用计数机寻找K值 *  * @param a *            有序数组a * @param b *            有序数组b * @param k *            k值位置，0<=k<=a.length+b.length-1，k同时充当计数器 * @return k值 */public static int findKthByCounter(int[] a, int[] b, int k) {System.out.println("Find kth by counter");int ai = 0, bi = 0;int kth = 0; // 保存K值while (ai < a.length && bi < b.length && k >= 0) {kth = (a[ai] < b[bi]) ? a[ai++] : b[bi++];k--;}while (ai < a.length && k >= 0) {kth = a[ai++];k--;}while (bi < b.length && k >= 0) {kth = b[bi++];k--;}return kth;}

本算法是对算法一的改进，用一个临时变量保存K值，而不需要讲新合并的数组单独存储，节省了存储空间。

其 时间复杂度为O（m+n), 空间复杂度为O(1).

到此都是线性时间复杂度，已经是非常高效了，但又没有更加高效的方法进一步降低时间复杂度呢？

这里注意到原数组有序特性，利用二分特性可以将复杂度降至对数级别。

思路三：递归二分

/** * 递归二分查找K值 *  * @param a *            有序数组a * @param b *            有序数组b * @param k *            K值位置，0<=k<=m+n-1 * @param aStart *            数组a初始查找位置 * @param aEnd *            数组a结束查找位置 * @param bStart *            数组b初始查找位置 * @param bEnd *            数组b结束查找位置 * @return k值 */public static int findKth(int a[], int b[], int k, int aStart, int aEnd,int bStart, int bEnd) {int aLen = aEnd - aStart + 1;int bLen = bEnd - bStart + 1;// 递归结束条件if (aLen == 0) {return b[bStart + k];}if (bLen == 0) {return a[aStart + k];}if (k == 0) {return a[aStart] < b[bStart] ? a[aStart] : b[bStart];}// 将k按比例分配到a和b中，（k+1）=ka+kb,int ka = (k + 1) * aLen / (aLen + bLen);int kb = (k + 1) - ka;ka += aStart;kb += bStart;// 因为a和b有序，aStart-ka , bStart-kb yi// 最大值进行比较if (a[ka] > b[kb]) {k = k - (kb - bStart); // bStart - kb 这段应当排除，调整k值aEnd = ka; // 新k值可能存在于 aStart - ka bStart = kb; // 新k值可能存在于 kb - bEnd 之间} else {k = k - (ka - aStart);bEnd = kb;aStart = ka;}return findKth(a, b, k, aStart, aEnd, bStart, bEnd);}

本方法计算中值每次将范围缩小一半，故而 其 时间复杂度为 lg（m+n）.

3. 测试算法

public static void main(String[] args) {int A[] = { 0, 10, 30, 40, 50, 80, 89, 99, 101 };// int A[]={};int B[] = { -1, 33, 36, 56, 80, 83, 97, 98, 200 };// int B[] = {};int k = 0;int kth = 0;k = (A.length + B.length - 1) / 2;System.out.println("A.length=" + A.length + "\t" + Arrays.toString(A));System.out.println("B.length=" + B.length + "\t" + Arrays.toString(B));System.out.println("k-index = " + k);kth = findKthByMerge(A, B, k);System.out.println(kth);kth = findKthByCounter(A, B, k);System.out.println(kth);System.out.println("递归查找");kth = findKth(A, B, k, 0, A.length - 1, 0, B.length - 1);System.out.println(kth);}

输出结果如下：

A.length=9[0, 10, 30, 40, 50, 80, 89, 99, 101]B.length=9[-1, 33, 36, 56, 80, 83, 97, 98, 200]k-index = 8Find kth by merge array first[-1, 0, 10, 30, 33, 36, 40, 50, 56, 80, 80, 83, 89, 97, 98, 99, 101, 200]56Find kth by counter56递归查找56