最大和连续子序列的变形

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（一）限制条件为 长度=K

如果在普通连续子序列问题的基础上加以限制，条件为 长度=K

方法一的动态规划仍然有效，之前得出的结论也依然有效，

算法步骤：

1、求出a[0......k-1]的和sum，max=sum

2、j从k.....n-1，sum=sum+a[j]-a[k-j]，max=MAX(max，sum)

3、结果为max

int maxsub(int* arr,int len,int k){   int i,maxsum=0,sum=0;    for(i=0;i<k;++i)        maxsum+=arr[i];    sum=maxsum;    for(i=1;i<len-k;++i)    {            sum=sum+arr[i+k-1]-arr[i-1];            if(sum>maxsum)                           maxsum=sum;                }    return maxsum;}

（二）限制条件为长度<=K

对于数组a[0，n-1]

考虑最大和连续子序列的限制条件为长度<=K。显然，朴素的动态规划：令f[i]表示为以第i个元素结束的连续子序列（显然开始位置s不能小于i-K+1）的最大值。定义sum[i,j]表示a[i]+a[i+1]+....+a[j]，则f[i]=MAX(sum[k，i])  ------> i-K+1 <=k <=i，对于这个状态转移方程，若每一次决策都枚举的话，复杂度为O（N^3），简单优化，sm[i]表示a[0]+...a[i]，这样可以在O（1）时间内求出sum[i，j]，但是复杂度O(N^2)仍然不容乐观。继续优化，仍然用sm[i]表示a[0]+...+a[i]，考虑对于每一个f[i]要找出MAX（sum[k，i]）------> i-K+1 <=k <=i，其实只要找出MAX(sum[k，i]-a[i]) ，结果再加上a[i]，同样是正确的，但这么做则让我们省了很大的事， 因为MAX(sum[k，i]-a[i]) 其实和 MAX(sum[k，i-1])没差多少，再仔细想一下，这两个k的取值范围错了一位，既然这样，如果我们用一个单调队列（用数组模拟的话，在这里意味着 ，随着下标的增加，值不断减少），保存sum[k，i-1]  (i-1-k<=K)，队首元素就是f[i-1]，求f[i]的时候，我们将a[i]-a[i]加入队列，并维护单调性，之后取出的队首元素值+a[i]就是f[i]。这样每个元素只进出队列一次，算法时间复杂度为O（N），问题得到完美解决，聪明的读者应该可以看出来这也是一个在线算法，因为求当前f[i]根本不需要a[i+1]及以后的元素。其实这个思想主要还是因为这个dp方程中的决策是凸性的，这使得我们可以充分利用决策的单调性来优化程序。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>using namespace std;#define maxn 10000int sm[maxn],a[maxn];int f[maxn],n,k,head,tail;typedef struct node{  int v;  int dex;}node;node q[maxn+1];void solve(){    for(int i=0;i<n;i++)    {        scanf("%d",&a[i]);        if(!i) sm[i]=a[i];        else sm[i]=a[i]+sm[i-1];        while(head<tail && q[head].dex+k<=i) head++;        while(head<tail && q[tail-1].v<a[i]-sm[i]) tail--;        q[tail].v=a[i]-sm[i];//所有的都减去sm[i]，这样都具有可比性        q[tail].dex=i;        tail++;        f[i]=q[head].v+sm[i];    }}void init(){    memset(sm,0,sizeof(sm));    memset(a,0,sizeof(a));    memset(f,0,sizeof(f));    head=tail=0;}void printans(){    int max=-99999999;    for(int i=0;i<n;i++)    {        printf("%d ",f[i]);        max=max>f[i]?max:f[i];    }    printf("\n%d\n",max);}int main(){    freopen("in.txt","r",stdin);    while(scanf("%d %d",&n,&k)!=EOF)    {        init();        solve();        printans();    }    return 0;}