100层楼扔2个鸡蛋、3个鸡蛋……

原题目

    现有2个鸡蛋，楼高100层，假设从n层楼及以上扔下会摔碎，n层以下不会，那么怎样扔能以最小的次数得到n？

分析

    最先想起来的是二分法的题目：100层最少需要扔多少次鸡蛋才能求得n？答案是ceil(log2(100))=7 。不过现在只有两个鸡蛋，这种方法就不行了。采用二分法的话，如果1号蛋在50层碎了，那剩下一个鸡蛋只能从1层开始慢慢扔了，需要扔1+49 = 50次。

    另外一种容易想起来的就是，1号蛋每两层扔一次，1、3、5、7……假设7层碎了，那2号蛋在6层再扔一次即可确定n。需要n/2+2次，最多需要扔51次。进而，如果1号蛋每m层扔一次，同样的策略最多需要扔100/m+m-1次。m取10，最坏情况下次数最小，为19次。

聪明的方法

    一种方法是限定扔的次数，看在最坏的情况下最多能在楼高多少层的情况下找出n。

    例如，限定最多扔15次，那么第一次在15层扔。碎的情况下可以使用2号蛋最多14次确定n，如果没有碎，则还剩下最多14次机会。这一次再隔14层（即15

14层）扔，同样的，如果碎掉，可以使用2号蛋最多13次确定n，如果没有碎，还剩下最多13次机会。那么继续，可以再隔13层扔……最后如果只剩一次，机会，则正好可以再确定一层楼。即总共可以确定 15 + 14 + 13 + …… + 1 = 120层楼。

    可以归纳出，限定最多扔e次，则最多可以处理的楼层数为：n + (n-1) + (n-2) + ……+ 1 = n*(n+1)/2。令可处理的楼层数大于100，得到n = 14。

动态规划解法及原题扩展

    从上面这种方法看到，采取隔m层扔的方法，最优的m值是随总的楼层数变化的，每一步间隔层数应该是变化的。如果用cnt[p][2]表示楼共有p层，2个鸡蛋情况下需要扔的次数，第一次从k层扔下，如果蛋碎了，总次数为cnt[k-1][1] + 1，如果没有碎，总次数为cnt[p-k][2] + 1，综合考虑这两种情况下的结果，需要取这两个值中的最大值。

    即有：cnt[p][2] = min{ max ( cnt[p-k][1] + 1， cnt[p-k][2] + 1) ，for k = 1,2,……p}

    其中，1个鸡蛋情况下p层楼需要扔的次数为p。

    这种动态规划的方法可以很轻易的扩展到多个鸡蛋，比如已知p层楼2个鸡蛋的答案，3个鸡蛋的答案由下式就可以得到：

    cnt[p][3] = min{ max ( cnt[p-k][2] + 1， cnt[p-k][3] + 1) ，for k = 1,2,……p}

    假设e个鸡蛋，p层楼，那么建一个p*e的数组，从第一列开始填就行了，复杂度为O(p^2 * e)。