2个鸡蛋从100层摔（N个鸡蛋从M楼层摔）

一、题目：

有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破， 在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下， 最小化鸡蛋下落的次数。(假设每次摔落时，如果没有摔碎，则不会给鸡蛋带来损耗)

二、解题思路

我们先假设最坏情况下，鸡蛋下落次数为x，即我们为了找出N，一共用鸡蛋做了x次的实验。 那么，我们第一次应该在哪层楼往下扔鸡蛋呢？先让我们假设第一次是在第y层楼扔的鸡蛋， 如果第一个鸡蛋在第一次扔就碎了，我们就只剩下一个鸡蛋，要用它准确地找出N， 只能从第一层向上，一层一层的往上测试，直到它摔坏为止，答案就出来了。 由于第一个鸡蛋在第y层就摔破了， 所以最坏的情况是第二个鸡蛋要把第1到第y-1层的楼都测试一遍，最后得出结果， 噢，原来鸡蛋在第y-1层才能摔破(或是在第y-1层仍没摔破，答案就是第y层。) 这样一来测试次数是1+(y-1)=x，即第一次测试要在第x层。OK， 那如果第一次测试鸡蛋没摔破呢，那N肯定要比x大，要继续往上找，需要在哪一层扔呢？ 我们可以模仿前面的操作，如果第一个鸡蛋在第二次测试中摔破了， 那么第二个鸡蛋的测试次数就只剩下x-2次了(第一个鸡蛋已经用了2次)。 这样一来，第二次扔鸡蛋的楼层和第一次扔鸡蛋的楼层之间就隔着x-2层。 我们再回过头来看一看，第一次扔鸡蛋的楼层在第x层，第1层到第x层间共x层； 第1次扔鸡蛋的楼层到第2次扔鸡蛋的楼层间共有x-1层(包含第2次扔鸡蛋的那一层)， 同理继续往下，我们可以得出，第2次扔鸡蛋的楼层到第3次扔鸡蛋的楼层间共有x-2层， ……最后把这些互不包含的区间数加起来，应该大于等于总共的楼层数量100，即

x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100(x+1)*x/2 >= 100

得出答案是14。
即我先用第1个鸡蛋在以下序列表示的楼层数不断地向上测试，直到它摔破。 再用第2个鸡蛋从上一个没摔破的序列数的下一层开始，向上测试， 即可保证在最坏情况下也只需要测试14次，就能用2个鸡蛋找出从哪一层开始， 往下扔鸡蛋，鸡蛋就会摔破。

14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

比如，我第1个鸡蛋是在第77层摔破的，那么我第2个鸡蛋就从第70层开始，向上测试， 第二个鸡蛋最多只需要测试7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1个鸡蛋测试的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最坏情况只需要测试14次即可得出答案。

三、扩展
此题还有一个扩展，就是为N个鸡蛋从M层摔找出最小值。
那就不是很好手解了，所以写了代码，使用动态规划原理。动态规划式子如下：

counts[n][m]=1+Math.max(counts[n-1][k-1], counts[n][m-k])

解释下原理：
1、当手里有n个的时候，鸡蛋从k层往下摔，如果破了，那么手里只有n-1鸡蛋了，那么就需要测试counts[n-1][k-1]楼层。或者更通俗好理解点的，我们运用2个鸡蛋100楼层的题目举例子。以上式子变为：counts[2][m] = 1+max(counts[1][k-1]，counts[2][m-k])
　　那么当手里有2个鸡蛋的时候，在k层摔，碎了。那么现在手里也就只有一个鸡蛋了，此时我们必须遍历1~k-1找出第一次碎的楼层。所以为1+counts[1][m-k]，前面的1代表在k层的操作。
2、没破，那么手里还有n个鸡蛋，那么需要测试k+1~m这些楼层。

此时我想问下，当手里有2个鸡蛋测试1~m-k层和手里有2个鸡蛋测试k+1~m有什么区别？
有人说有，因为楼层越高越容易碎，那其实是你个人的想法罢了。其实并没有区别，所以第一个公式可以写为counts[n][m-k]。

四、动态规划代码

public class Solution {    public static void main(String[] args) {        Solution s=new Solution();        System.out.println(s.countMinStep(2, 100));    }    public int countMinStep(int eggs,int levels){        int[][] counts=new int[eggs+1][levels+1];        for(int i=1;i<=eggs;i++){            for(int j=1;j<=levels;j++){                counts[i][j]=j;            }        }        for(int n=2;n<=eggs;n++){            for(int m=1;m<=levels;m++){                for(int k=1;k<m;k++){                    counts[n][m]=Math.min(counts[n][m], 1+Math.max(counts[n-1][k-1], counts[n][m-k]));                }            }        }        return counts[eggs][levels];    }}