堆排序

堆的定义：n个元素的序列{K_l，K₂，…，K_{n}当且仅当满足如下关系时，称之为堆。}

_{(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤  )}

_{若将和此序列对应的一维数组（即以一维数组作为此序列的存储结构）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，完全二叉树中所有非终端节点的值均不大于（或不小于）其左右孩子节点的值。由此，若序列{Kl，K2，…，Kn}是堆，则堆顶元素（或完全二叉树的根）必为序列中n个元素的最小值（或最大值）。}

_{序列{96，83，27，38，11，09}为堆，对应的二叉树如下图：}

若在输出输出堆顶的最大值（最小值）之后，使得剩余的（n-1）个元素的序列重又建成一个堆，则得到n个元素中的次大（小）值。如此反复执行，便能的得到一个有序序列，这个过程称为堆排序。

堆排序是一种树形选择排序，堆排序和直接选择排序的区别：

直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。

实现堆排序需要解决两个问题：（1）如何由一个无序序列构造一个堆？（2）如何在输出堆顶元素后，调整剩余的元素成为一个新的堆？

因为构造初始堆需要用到堆得调整操作，所以我们先讨论“如何在输出堆顶元素后，调整剩余的元素成为一个新的堆”。

堆得调整（heapify）：如图pic2所示的一个小根堆，假设输出堆顶元素之后，以堆中最后一个元素代替堆顶的元素，如图pic3所示。此时根节点的左右子树均为堆，则仅需自上自下向下调整即可。

首先以堆顶的元素和其左右子树的根结点的值进行比较，由于右子树的根节点小于左子树的根节点并且小于根节点的值。所以要将27和97交换，如图pic3种箭头所示。

由于97代替27之后破坏了右子树的堆的性质，则要将右子树进行核上述相同的调整，直至叶子节点。

pic2

pic3

我们称这个自堆顶至叶子节点的调整过程为“筛选”。

从一个无序序列构建堆得过程就是一个反复“筛选”的过程。若将此序列看成是一个完全二叉树，则最后一个非终端节点是第 个元素，由此“筛选”只需从第 个元素开始。

筛选函数heapify的算法如下：

/** * 调整a[i...j]使其成为一个大顶堆 * @param s表示需要调整的堆的堆顶的坐标 * @param m表示堆中索引的下限 * */protected void heapify(int[]a,int s,int m){int rc=a[s];for(int j=2*s;j<=m;j*=2){if(j<m&&a[j]<a[j+1])++j;if(rc>=a[j])break;a[s]=a[j];s=j;}a[s]=rc;}

构建初始堆的算法如下：

protected void buildheap(int[]a){int n=a.length/2;//最后一个非终端节点for(int i=n;i>=0;--i)this.heapify(a, i, a.length -1);}

堆排序：

public void heapsort(int[]a){this.buildheap(a);int temp=0;for(int i=a.length-1;i>0;i--){temp=a[0];a[0]=a[i];a[i]=temp;this.heapify(a, 0, i-1);}}