关于二分查找的思想

时间：2014.04.17

地点：基地

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一、简述

  在学习一个算法时我们要弄懂算法的原理，应用背景和实现，还有就是要学会用大O理论分析算法的时间复杂度，现在我们常碰到的时间复杂度通常为:O(1),O(logn),O(n),O(n*n)......O(2的n次方)，时间复杂法为O(log)的目前所学算法中为二分法莫属，而且，在一系列的其他算法诸如排序等，因为二分的思想而常使得其时间复杂度降为O(nlogn)，而一般情况下是O(n*n)。

然而，二分法虽然高效，但很具有局限性，用于二分查找的序列必须具有如下特征：

1.存储在数组中，在链表中就不能实现二分查找了。

2.序列有序

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二、二分法查找的实现

Bentleley说，只有百分之十的人能给出二分法的正确实现，所以别小看它：

#include<iostream>using namespace std;int BinarySearch(const int array[], size_t low, size_t high, int target){if (low > high) return -1;int mid = (low + high) / 2;if (array[mid] == target)return mid;else if (array[mid] > target)return BinarySearch(array, low, mid - 1, target);elsereturn BinarySearch(array, mid + 1, high, target);}int main(){int a[5] = { 1, 2, 3, 4, 5 };cout << BinarySearch(a, 0, 4, 6) << endl;return EXIT_SUCCESS;}

基于所有递归实现都可以用栈来解递归的思想，我们可以非递归实现该函数如下：

int BinarySearch(const int array[], size_t low, size_t high, int target){while (low <= high){int mid = (low + high) / 2;if (array[mid] == target)return mid;else if (array[mid] > target)high = mid - 1;elselow = mid + 1;}return -1;}

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三、用二分法寻找边界值

有时我们并不是要寻找目标值，而是寻找到第一个大于给定值得值或者第一个小于给定值得值。

int BinarySearchUpperBound(const int array[],size_t low,size_t high,int rarget){  if(low>higg||target>=array[high]) return -1;  int mid=(low+high)/2;  while(low<high)  {   if(array[mid]>target)    high=mid;   else     low=mid+1;   mid=(low+high)/2;  } return mid;}

这里和准确查找的不同之处在于准确查找包含三个分支，等于目标，大于目标，小于目标分别处理，而上界查找则只有大于和不大于两种情况，中间值大于，说明大索引还可以往中间靠拢，但不能越过该中间值，有可能该中间值就是第一个大于目标的呢。同样我们可以写出求下界的函数，如下：

int BinarySearchLowBound(const int array[],size_t low,size_t high,int rarget){  if(low>higg||target>=array[high]) return -1;  int mid=(low+high)/2;  while(low<high)  {   if(array[mid]<target)    low=mid;   else     high=mid-1;   mid=(low+high+1)/2;  //这里有个技巧，即加1，意味着是向上取整，避免low总是不增长而爬不过high陷入死循环。  }return mid;

类似的，当寻找松散边界时也只要做简单地修改即可实现。

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四、二分查找的缺陷：

二分查找的效率令人向往，但固有的缺陷亦也使人恼火，首先它要求是数组，其次还要求有序，在对元素进行删除增加操作时很耗时，时间复杂度为O(n)，而一种好的办法是使用二叉查找树，它能在O(nlogn)内构建树，也能在O(logn)内查找目标。